Движение тел в вязкой жидкости. Закон Стокса

Вязкость проявляется при движении не только жидкости по трубам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях сила со­противления движущемуся телу в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна вязкости жидкости, скорости движе­ния тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, то ограничимся рас­смотрением частного случая.

Наиболее простой формой тела является сфера. Для сфериче­ского тела (шарика) зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью от перечисленных выше факто­ров выражается законом Стокса:

где r — радиус шарика, v — скорость движения. Этот закон полу­чен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение тела.

При падении шарика в вязкой среде (рис. 7.6) на него действу­ют три силы: а) сила тяжести mg = ⁴/₃ ρπr²g; б) выталкивающая (архимедова) сила F_A = m_жg = ⁴/₃ p_жρr³g, где m_ж — масса вытес­ненной шаром жидкости, ρ_ж — ее плотность; в) F_Tp — сила сопро­тивления, вычисляемая по формуле (7.13).

При попадании шарика в вязкую жидкость его скорость умень­шается. Так как сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, то и она будет уменьшаться до тех пор, пока движение не станет равномерным. В этом случае (рис. 7.6)

или в скалярной форме при подстановке соответст­вующих выражений для сил

где v₀ — скорость равномерного движения (паде­ния) шарика. Из (7.14) получаем

Формула (7.15) справедлива для движения шари­ка не только в жидкости, но и в газе. Она может быть использована, в частности, для вычисления времени выпадения пы­ли в воздухе. Поясним это следующим примером. Для воздуха — среды, в которой взвешены различные частицы пыли, — вязкость η = 0,000175 П. Около 80% пыли, обнаруженной в легких умерших людей, составляют частицы размером от 5 до 0,2 мкм. Если считать пылинки шарообразными, а плотность пыли равной плотности зем­ли (р = 2,5 г/см³), то, вычисляя скорость падения этих пылинок по формуле (7.15), найдем, что ее значения находятся в пределах 0,2— 0,0003 см/с. Для полного выпадения такой пыли в комнате высотой 3 м потребуется около 12 суток при условии полной неподвижности воздуха и отсутствия броуновского движения.