Решение дифференциальных уравнений в комплексных числах.

Рассмотрим случай, когда найденные корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными числами

Напомним, что число записанное в виде

z = α + βі

называется комплексным, причем α – является действительной частью комплексного числа, а β – мнимой частью. комплексного числа z. Причем сама запись является алгебраической формой записи комплексного числа. А два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Пример. Найти общее решение уравнения: .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

2 + 3і; 2 – 3і; полученные корни – комплексно-сопряженные числа, значит решение уравнения ищем по формуле (9):

.

Вопросы для самоконтроля..

1. Какие дифференциальные уравнения называются линейными?

2. Какие дифференциальные уравнения называются однородными?

3. Что лежит в основе метода решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?

4. По какому принципу выбираем формулу записи общего решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Литература:

1. В.П.Дубовик, И.И.Юрик «Высшая математика», К.,2003.,

Глава 8, §4,п.4.1.; §3, п.3.1.

Литература:

1. В.П.Дубовик, И.И.Юрик «Высшая математика», К.,2003.,

Глава 8, §1,п. 1.4

2.И.П.Коваленко «Высшая математика»,К.,2006.,

Раздел 13, п.13.2

Литература:. В.П.Дубовик, И.И.Юрик «Высшая математика», К.,2003., с.421-427, с.470-473.