Изменение матрицы Грама при изменении базиса.

Допустим, в евклидовом пространстве V заданы два базиса и . Обозначим через матрицу перехода, связывающие координаты вектора в разных базисах. Пусть для определённости . Скалярное произведение не зависит от выбора базиса, поэтому . Подставим в правую часть равенства вместо координат вектора в базисе e их выражение через координаты в базисе f. В результате придём к равенству . Поскольку полученное равенство справедливо для любых векторов x и y, то выводим .

Ортогональность.

Определение 2.1. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 2.1 (Пифагора). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. , т.к. в силу ортогональности.

Теорема 2.2 (неравенство Бесселя). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. По теореме Пифагора . Поскольку , то , что и требовалось.

Теорема 2.3 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца). .

Доказательство. Для любого a справедливо неравенство . Раскроем левую часть . В левой части неравенства записан квадратный трехчлен. Выделим из него полный квадрат . Положив получим неравенство из которого вытекает . Извлекая квадратный корень, получаем требуемое.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет ввести угол между векторами, то есть косинус угла равен отношению .

Определение 2.2 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна.

Свойство 2.1. Ортогональная система векторов линейно не зависима.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов и . Тогда . Таким образом и система векторов линейно независима.

Свойство 2.2. Матрица Грама ортогональной системы векторов – диагональная.