Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида ,где – рациональная функция.

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной тригонометрической подстановки

.

В результате этой подстановки имеем:

Например, найдем интеграл

Подынтегральная функция рационально зависит от и ; применим подстановку , тогда и

.

Возвращаясь к старой переменной, получим

.

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено.

1. Если – нечетная функция относительно , т.е. если , то интеграл рационализируется подстановкой

.

2. Если – нечетная функция относительно , т.е. если , то интеграл рационализируется подстановкой

.

3. Если – четная функция относительно и , т.е. если , то к цели приводит подстановка

.

Например, найдем найти интеграл .

Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэтому применим подстановку

; тогда , .

Следовательно,

.

Так как , то

.

Окончательно получаем

.

2. Интегралы вида .

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Хотя бы один из показателей или – нечетное положительное число.

Если – нечетное положительное число, то применяется подстановка .

Если – нечетное положительное число, то подстановка .

Например, найдем интеграл .

Полагая , получим

.

Случай 2. Оба показателя степени и – четные положительные числа. Здесь следует преобразователь подынтегральную функцию с помощью формул

Например, найдем интеграл .

Из формулы (1) следует, что

.

Применим теперь формулу (2), получаем

.

Итак,

.

3. Интегралы вида .

При нахождении таких интегралов необходимо применять следующие тригонометрические формулы

Они дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Например, найдем интеграл .

Используя формулу (1), получим

.