Интегрирование простейших иррациональных функций

1. Интегралы вида где – рациональная функция ; – целые числа.

С помощью подстановки , где - наименьшее общее кратное чисел указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.

2. Интервалы вида .

Такие интегралы путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам.

Например, найдем интеграл .

Преобразуем квадратный трехчлен к виду . Тогда

3. Интегралы вида .

Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов:

.

4. Интегралы вида .

С помощью подстановки этот интеграл проводится к рассмотренному в п.2.

5. Интегралы вида , где – многочлен -й степени.

Интеграл такого вида находится с помощью тождества

,

где – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами, число.

Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена и число .