Оценка математического ожидания
Проверка состоятельности. Согласно закону больших чисел (теорема Чебышева) [13], при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.
(5.5)
где ξ - сколь угодно малое положительное число.
Нетрудно заметить, что вместе с выполнением равенства (5.5) выполняется и условие состоятельности (5.2).
Проверка несмещенности.Пусть имеется l периодов наблюдений (l →∞) продолжительностью п лет. Найдем математическое ожидание оценок математического ожидания методом моментов
Таким образом, Отсюда, согласно выражению (5.1), оценка математического ожидания методом моментов является несмещенной.
Оценка дисперсии
Проверка состоятельности. Раскроем квадрат в числителе формулы (3.37). Тогда
Сумма представляет собой среднее арифметическое п наблюденных значений случайной величины X2, или, иначе, оценку математического ожидания X2 методом моментов x2. Как показано выше, эта оценка сходится по вероятности к mx2 В свою очередь x сходится по вероятности к тх и тогда вся правая часть полученного равенства сходится по вероятности к
где - начальный момент второго порядка [см. формулу (3.22)].
Следовательно, эмпирическая оценка дисперсии Dx методом моментов является состоятельной.
Проверка несмещенности. Преобразуем формулу оценки дисперсии (3.37), отняв и прибавив в скобках математическое ожидание
и найдем математическое ожидание
В полученном выражении
В свою очередь (см. раздел 3.1.5), согласно свойств числовых характеристик Тогда
т.е.
(5.6)
Таким образом, оценка дисперсии имеет отрицательную смещенность, равную в среднем Dx/n. Для ее учета следует правую часть формулы (3/37) умножить на п/(п— 1). В результате получаем
(5.7)
В соответствии с этим для оценки среднего квадратического отклонения должна использоваться формула
(5. 8)
а для оценки коэффициента вариации
(5.9)
Для определения коэффициента асимметрии на основании аналогичных выводов получена формула
(5.10)
Следует отметить, что при п ≥30 во многих расчетах с достаточной точностью можно принимать в знаменателе формул (5.7) —(5.10) не п— 1, а п.
Практически на всех языках программирования имеются пакеты программ для оценки числовых характеристик методом моментов на ЭВМ.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 155;