Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра

Предположим, что на вход линейного стационарного цифрового фильтра подана гармоническая последовательность вида

{x_к}={Аe^j(ωkΔ+φ)} (5.4)

неограниченной протяженности во времени, т.е. к= 0, 1, 2,…∞.

Для того, чтобы вычислить выходной сигнал фильтра {y_к} воспользуемся формулой свертки и найдем m-й отсчет выходного сигнала

y(mΔ)=y_m= х_кh_m-к=Ае^-jφ е^jωκΔh_m­к=Ае^jφ е^jωκΔh(mΔ­кΔ).

Выполнив преобразования, получим:

У(mΔ)=У_m=Ае^j(ωmΔ­φ) е^{-jω(m­κ)Δh}(mΔ­κΔ).

Введем новый индекс суммирования n=m­к, тогда

У(mΔ)=У_m=Ае^j(ωmΔ+φ) е^­jωnΔh(nΔ)=x(mΔ)K(jωΔ). (5.5)

В соответствии с полученной зависимостью выходной сигнал имеет структуру дискретной гармонической последовательности с той же самой частотой ω, что и входной сигнал. Выходные отсчетные значения получаются из входных путем умножения последних на комплексное число

К(jωΔ)= е^-jωnΔh(nΔ), (5.6)

которое называют частотным коэффициентом передачи цифрового фильтра.

Величина к(jωΔ) зависит от частоты ω входного сигнала, а также от шага дискретизации Δ и от совокупности коэффициентов (отсчетных значений) импульсной дискретной характеристики цифрового фильтра

{h_к}=(h₀, h₁, h₂,…, h_n,… h_k).

Формула к(jωΔ)= е^-jωnΔh(nΔ) позволяют сделать ряд важных выводов:

1) частотный коэффициент передачи цифрового фильтра есть периодическая функция частоты с периодом, обратным круговой частоте дискретизации

ω_диск= ;

2) функция к(jωΔ) может рассматриваться как преобразование Фурье импульсной дискретной характеристики цифрового фильтра, представленной в форме последовательной -импульсов h_д(t)=h₀ (t)+h₁ (t-Δ)+..., т.е.

к(jωΔ)= h(кΔ)е^-jωкΔ