Нечеткие знания и нечеткая логика

При формализации знаний существует проблема, затрудняющая использование традиционного математического аппарата. Это проблема описания понятий, оперирующих качественными характеристиками объектов (много, мало, больно). Эти характеристики обычно размыты и не могут быть однозначно интерпретированы, однако содержат важную информацию. В задачах, решаемых ИИС, часто приходится пользоваться неточными знаниями, которые не могут быть интерпретированы как полностью истинные или ложные. Существуют знания, достоверность которых выражается некоторым значением, например 07. Таким образом, возникает проблема размытости и неточности. Для разрешения таких проблем в начале 70-х годов ХХ века Лотфи Заде предложил формальный аппарат нечеткой алгебры и нечеткой логики. В последующем это направление получило название «мягкие вычисления». Л. Заде ввел одно из главных понятий в нечеткой логике – лингвистическая переменная (ЛП). ЛП – это переменная, значение которой определяется набором вербальных (словесных) характеристик некоторого свойства. Например, ЛП «рост» определяется через набор {карликовый, низкий, средний, высокий, очень высокий}.

Значения ЛП определяются через нечеткие множества (НМ), которые в свою очередь определены на некотором базовом наборе значений или базовой числовой шкале, имеющей размерность. Каждое значение ЛП определяется как НМ, например «низкий рост».

НМ определяется через некоторую базовую шкалу В и функцию принадлежности НМ – μ(х), х Î В, принимающую значения на интервале [0;1]. Таким образом, нечеткое множество А – это совокупность пар вида (х, μ(х)), где х Î В. Часто используется такая запись:

,

где х_i – i-е значение базовой шкалы;

n – число элементов НМ.

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует определяемому НМ. Эту функцию нельзя путать с вероятностью, носящей объективный характер и подчиняющейся определенным математическим зависимостям.

Пример 4.2. Для двух экспертов определение НМ «высокая цена» для ЛП «цена автомобиля» в условных единицах может существенно отличаться в зависимости от их социального и финансового положения.

«Высокая цена автомобиля 1 » = {50000/1 + 25000/0,8 + 10000/0,6 + + 5000/0,4};

«Высокая цена автомобиля 2 » = {25000/1 + 10000/0,8 + 5000/0,7 + + 3000/0,4}.

Пример 4.3. Пусть необходимо решить задачу интерпретации значений ЛП «возраст», таких как «младенческий», «детский», «юный»,…, «старческий». Для ЛП «возраст» базовая шкала – это числовая шкала от 0 до 120. На рис. 4.2 отражено, как одни и те же значения В могут участвовать в определении различных НМ.

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,3 1 0,9 0,8 0,4 0,1

х

Рис. 4.2. Формирование нечетких множеств

При этом НМ определяются следующим образом:

«младенческий» = ;

«детский» = .

Таким образом, НМ позволяют при определении понятия учитывать субъективные мнения отдельных экспертов.

Для операций с нечеткими знаниями, выраженными при помощи ЛП, существует много различных способов, которые являются в основном эвристическими и реализующими логику Заде или вероятностный подход. Усиление или ослабление лингвистических понятий достигается введением специальных квантификаторов. Для вывода на НМ используются специальные отношения и операции над ними. В настоящее время в большинство инструментальных средств разработки систем, основанных на знаниях, включены элементы работы с НМ, кроме того разработаны специальные ПС реализации нечеткого вывода, например «оболочка» Fuzzy CLIPS.

Для обработки нечетких знаний используется нечеткая логика, опирающаяся на теорию Байеса. Эта теория занимается условными вероятностями и входит в качестве раздела в классическую теорию вероятности. Методика разработана на основе утверждения, что «некоторое событие произойдет, потому что раньше уже произошло другое событие». Нечеткая логика играет ту же роль, что и двузначная (булева) логика в классической теории множеств. В общем случае вместо классических истинных значений «истина» и «ложь» рассматриваются классические величины, учитывающие различные степени неопределенности. Они могут принимать целый ряд значений: «верно», «неверно», «в высшей степени верно», «не совсем верно», «более или менее верно», «не совсем ошибочно», «в высшей степени ошибочно» и т.п.

Нечеткая логика имеет дело с ситуациями, когда и сформулированный вопрос и знания, которыми мы располагаем, содержат нечетко очерченные понятия. Однако нечеткость формулировки понятий является не единственным источником неопределенности, поскольку порой нет уверенности в самих фактах. Например, если утверждается: «Возможно, что студент Иванов сейчас находится на лекции по ИИС», то говорить о нечеткости понятия «студент Иванов» и «лекция по ИИС» не приходится. Неопределенность заложена в самом факте, действительно ли студент Иванов находится на лекции.

Теория возможностей является одним из направления в нечеткой логике, в котором рассматриваются точно сформулированные вопросы, базирующиеся на некоторых знаниях.

Пример 4.4.Пусть на занятии присутствуют 10 студентов и известно, что несколько из них готовы ответить на вопросы преподавателя. Какова вероятность того, что преподаватель вызовет отвечать того, кто готов?

Обозначим искомую вероятность через Р. Просто вычислить искомое значение, основываясь на знаниях, что несколько студентов знают материал, нельзя.

Согласно теории возможности определяется понятие «несколько» как НМ:

«несколько» = {(3;0,2), (4;0,6), (5;1), (6;1), (7;0,6), (8;0,3)}

В этом определении выражение (3;0,2) означает, что 3 из 10 вряд ли можно признать как «несколько», а выражения (5;1) и (6;1) означают, что значения 5 и 6 из 10 идеально согласуются с понятием «несколько». В определении НМ не входят значения 1 и 10, поскольку интуитивно ясно, что «несколько» означает «больше одного» и не «все». Значение 9 не внесено в НМ, потому как 9 из 10 - это «почти все».

Распределение возможностей для Р рассчитывается по обычной формуле»

,

которая после подстановки дает

Р = {(0,3;0,2), (0,4;0,6), (0,5;1), (0,6;1), (0,7;0,6), (0,8;0,3)}

Выражение (0,3;0,2) означает: шанс на то, что Р = 0,3, составляет 20%. Р рассматривается как нечеткая вероятность.