Определение линейных электрических цепей.

Совокупность соединённых друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток, называют электрической цепью.

Постоянным током называют ток, неизменный во времени. Постоянный ток представляет собой направленное упорядоченное движение частиц, несущих на себе электрические заряды.

Как известно из курса физики, носителями заряда в металлах являются свободные электроны, а в жидкостях – ионы. Упорядоченное движение носителей зарядов в проводниках вызывается электрическим полем, созданных в них источниками электрической энергии. Источники электрической энергии представляют собой такие источники, которые преобразуют химическую, механическую и другие виды энергии в электрическую. Источник электрической энергии характеризуется величиной и направлением электродвижущей силы (ЭДС) и величиной внутреннего сопротивления.

Условимся обозначать постоянный ток буквой , ЭДС источника – буквой , напряжение на участке цепи – буквой и сопротивление – буквой .

В международной системе единиц СИ ток измеряется в амперах (А), ЭДС и напряжение – в вольтах (В) и сопротивление – в омах (Ом).

Изображение электрической цепи на рисунке с помощью условных знаков принято называть электрической схемой.

В соответствии с единой системой конструкторской документации (ЕСКД) стандартизованы размеры условных знаков элементов схемы.

В цепи постоянного тока всего три элемента: источник ЭДС, источник тока и резистор.

Условным знаком резистора, обладающего сопротивлением , на электрической схеме является вытянутый прямоугольник размером 4х10 мм согласно ЕСКД. Около него ставится обозначение сопротивления (рис. 1).

Рис. 1. Условный знак резистора

Условным знаком источника ЭДС является кружок с изображённой внутри него стрелкой. Стрелка указывает полярность источника ЭДС. По ЕСКД диаметр кружка равен 10 мм (рис. 2).

Рис. 2. Условный знак источника ЭДС

Условным обозначением источника тока является кружок с изображённой внутри него двойной стрелкой. Стрелка указывает полярность источника тока. По ЕСКД диаметр кружка равен 10 мм (рис. 3).

Рис. 3. Условный знак источника тока

Приёмник энергии и провода, соединяющие приёмник с источником энергии, называют «внешней» частью электрической цепи или, короче, внешней цепью. Во внешней цепи ток течет от плюса источника энергии к минусу, а внутри источника – от минуса к плюсу.

Зависимость тока, протекающего по резистору, от напряжения на этом резисторе принято называть вольтамперной характеристикой (ВАХ).

Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями, называют линейными сопротивлениями, а электрические цепи с входящими в них только линейными сопротивлениями принято называть линейными электрическими цепями.

Резисторы характеризуются линейными ВАХ. На рис. 4 показана эта ВАХ.

Рис. 4. ВАХ линейного сопротивления

Наклон линии ВАХ зависит от величины сопротивления резистора.

1. Источник ЭДС и источник тока.

Под идеализированным источником ЭДС условимся понимать такой источник питания, ЭДС которого постоянна, не зависит от величины протекающего через него тока. Очевидно, это может быть только в том случае, если внутреннее сопротивление равно нулю.

ВАХ такого источника ЭДС представляет прямую линию, параллельную оси тока (рис. 5).

На рисунке: 1 – ВАХ идеализированного источника ЭДС;

2 – ВАХ реального источника ЭДС.

Рис. 5. ВАХ идеализированного и реального источника ЭДС

Внутреннее сопротивление реального источника ЭДС не может быть равно нулю. Поэтому ВАХ реального источника ЭДС представляет наклонную линию. С увеличением тока напряжение на выходе источника падает (линия 2 на рис. 5).

На рис. 6 представлена электрическая схема с реальным источником ЭДС.

Рис. 6. Электрическая схема с реальным источником ЭДС

Напряжение на выходе источника ЭДС меньше величины электродвижущей силы на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника:

. (1)

Под идеализированным источником тока понимают такой источник питания, который даёт ток , не зависящий от величины нагрузки цепи и равный частному от деления ЭДС реального источника на его внутреннее сопротивление :

. (2)

Чтобы такой источник тока мог давать ток , не зависящий от величины сопротивления нагрузки , внутреннее сопротивление его и его ЭДС теоретически должны стремиться к бесконечности.

Внутреннее сопротивление реального источника тока не может быть равно бесконечности.

На рис. 7 представлена электрическая схема с реальным источником тока:

Рис. 7. Электрическая схема с реальным источником тока

По определению идеализированный источник тока даёт ток , не зависящий от величины сопротивления нагрузки . Другими словами, сопротивление в схеме рис. 7 может быть равно нулю (короткое замыкание) или равным бесконечности (холостой ход), а ток должен остаться неизменным. Рассмотрим, при каких условиях это возможно. С этой целью через обозначим внутреннее сопротивление источника тока, а через его ЭДС и запишем два уравнения, описывающие работу схемы рис. 7 для двух упомянутых крайних режимов работы.

При

. (3)

При

или . (4)

Уравнения (3) и (4) совместимы только в том случае, если .

Однако если внутреннее сопротивление источника питания на несколько порядков меньше сопротивления нагрузки , то источник питания будет работать в режиме, близком к режиму, характерному для источника ЭДС.

Так, например, электромагнитные генераторы, вырабатывающие электрическую энергию на всех видах электрических станций ГЭС, ТЭЦ, АЭС и др., работают в режиме, характерном для источника ЭДС. Обмотка ротора и статора крупного генератора выполнена из довольно толстого провода, поэтому их сопротивление мало (десятые, сотые и даже тысячные доли Ома). Падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника очень мало, поэтому и получается ВАХ, близкая к идеализированному источнику ЭДС.

Если же внутреннее сопротивление источника питания на несколько порядков больше сопротивления нагрузки , то источник питания будет работать в режиме, близком к режиму, характерному для источника тока.

Примером могут служить полупроводниковые высокочастотные генераторы, особенно, если в их составе есть хотя бы один каскад на однопереходных транзисторах. Особенностью таких транзисторов является их внутреннее сопротивление, составляющее 3-:-5 МОм (3-:-5 миллиона Ом). Собственно это и будет внутреннее сопротивление источника. ВАХ такого источника будет близка к ВАХ идеализированного источника тока, особенно в том случае, когда сопротивление нагрузки меняется в относительно небольших пределах. Тогда нет необходимости требовать, чтобы и стремились к бесконечности.

Следует отметить, что схема рис. 7 эквивалента схеме рис. 6 только в отношении энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки , и не эквивалентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем сопротивлении источника тока.

Ток в сопротивлении нагрузки будет одинаков в обеих эквивалентных схемах рис. 6 и рис. 7:

. (5)

Для схемы рис. 6 это настолько очевидно, что не требует пояснений.

Убедимся в этом для схемы рис. 7. Ток источника тока в этой схеме распределяется обратно пропорционально сопротивлениям двух параллельных ветвей с сопротивлениями и . Ток в нагрузке равен:

. (6)

Таким образом, совершенно безразлично, каким из рассмотренных эквивалентов пользоваться.

Пример.

В схеме рис. 7 источник тока даёт ток . Шунтирующее его сопротивление Ом. Найти величину ЭДС эквивалентного источника ЭДС в схеме рис. 6.

Решение: ЭДС .

Таким образом, параметры эквивалентной схемы рис. 6 таковы: и Ом.

2. Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС в реальных электрических схемах.

В схеме рис. 8 преобразовать источник тока в эквивалентный источник ЭДС и начертить эквивалентную схему.

Рис. 8. Электрическая схема

Прежде всего, следует выбрать путь, по которому проходит ток от источника тока . Пусть это будет контур adba. Обозначим этот путь штриховой линией.

Величина эквивалентного источника ЭДС равна произведению источника тока на величину параллельно включенного сопротивления :

, (7)

а направление стрелки источника ЭДС всегда против тока от источника тока , проходящего по резистору .

Рис. 9. Преобразованная электрическая схема

На рис. 9 показана эквивалентная схема, в которой источник тока заменен на эквивалентный источник ЭДС .

Токи , , те же самые, что и в исходной схеме рис. 8. Ток в эквивалентной схеме исчез. Теперь во всей ветви cbaтечет ток .

Рассмотрим более сложный случай, когда ток замыкается на два резистора.

В схеме рис. 10 преобразовать источник тока в эквивалентные источники ЭДС.

Рис. 10. Электрическая схема

Выберем путь, по которому проходит ток от источника тока, обозначенный штриховой линией на рис. 10.

Теперь в четвертой ветви вводится эквивалентный источник ЭДС

, а в пятой ветви вводится эквивалентный источник ЭДС

. Направления стрелок этих ЭДС против тока от источника тока , проходящего через резисторы и .

Рис. 11. Преобразованная электрическая схема

На рис. 11 показана эквивалентная схема. Токи , , те же самые, что и в исходной схеме рис. 10. Токи и в эквивалентной схеме исчезли. Ток теперь течет через резисторы и и источник ЭДС . Ток теперь течет через резисторы и и источник ЭДС .

3. Разветвленные и неразветвленные электрические цепи.

Электрические цепи подразделяются на неразветвленные и разветвленные. Схема рис. 6 представляет собой простейшую неразветвленную цепь, в которой все элементы включены последовательно и по которым протекает один и тот же ток. На рис. 8 и рис. 10 изображены разветвленные цепи, в которых имеется несколько ветвей. В каждой ветви течет свой ток. Ветвь можно определить как участок электрической цепи, образованный последовательно соединенными элементами и заключенный между двумя узлами.

Узел есть точка электрической цепи, в которой сходится не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме поставлена «жирная» точка (рис. 12а), то в этой точке есть электрическое соединение двух или нескольких ветвей. По этой причине узлы на электрической схеме обозначаются «жирными» точками.

А) б)

Рис. 12. Обозначение на схеме электрического соединения

Если «жирная» точка в месте пересечения не поставлена, то линии пересекаются без электрического соединения.

Электрическим контуром называется любой замкнутый путь в схеме. Ветвь с источником тока не учитывается при подсчете числа контуров. Так в схеме рис. 10 три контура: abda, acba, acbda.

Независимый электрический контур – это такой контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Так в схеме рис. 10 два независимых контура abda и acba. Контур acbda не является независимым, так как все его ветви вошли в предыдущие независимые контуры.

В неразветвленной электрической цепи всегда только один контур. В разветвленной цепи всегда несколько контуров.

4. Напряжение на участке цепи.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.

На рис. 13 изображен участок цепи, на котором есть резистор сопротивлением и нет ЭДС. Крайние точки этого участка обозначены буквами a и b. Пусть ток течет от точки a к точке b.

Рис. 13. Участок электрической цепи

На участке без ЭДС ток течет от более высокого потенциала к более низкому. Следовательно, потенциал точки a выше потенциала точки b на величину, равную произведению тока на сопротивление :

.

В соответствии с определением, напряжение между точками a и b

А) б)

Рис. 14. Участки электрической цепи

По определению

. (9)

Выразим потенциал точки a через потенциал точки c. При перемещении от точки c к точке b (рис. 14,а) идем встречно ЭДС , поэтому потенциал точки b оказывается меньше, чем потенциал точки c на величину ЭДС , т.е.

.(10)

На рис. 14,б при перемещении от точки c к точке b идем согласно ЭДС и потому потенциал точки b оказывается больше, чем потенциал точки c на величину ЭДС , т.е.

.(11)

Ранее говорилось, что на участке цепи без ЭДС ток течет от более высокого потенциала к более низкому. Поэтому в обеих схемах рис. 14 потенциал точки a выше, чем потенциал точки b на величину падения напряжения на резисторе сопротивлением :

. (12)

Таким образом, для рис. 14,а имеем

, или

. (13)

И для рис. 14, б имеем

, или

.(14)

Положительное направление напряжения указывают на схемах стрелкой. Стрелка должна быть направлена от первой буквы индекса ко второй. Так, положительное направление напряжения изобразится стрелкой, направленной от a к c.

Из самого определения напряжения следует также, что . Поэтому . Другими словами, изменение чередования индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Из изложенного ясно, что напряжение может быть и положительной, и отрицательной величиной.

5. Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС.

Закон Ома устанавливает связь между током и напряжением на некотором участке цепи. Так, применительно к участку цепи, изображенному на рис. 13 имеем

или

.(15)

6. Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов на концах этого участка и имеющейся на этом участке ЭДС . Так из уравнения (13) имеем для схемы рис. 14, а

.(16)

Аналогично из уравнения (14) для схемы рис. 14, б следует

.(17)

Уравнения (16) и (17) выражают собой закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, для разных случаев включения ЭДС .

7. Выражение потенциала любой точки схемы через потенциалы соседних точек.

Рассмотрим на примере схемы рис. 15.

Рис. 15. Схема электрической цепи

Перед расчетом произвольно выбираются направления токов во всех ветвях и больше не меняются в процессе расчета.

Найдем разность потенциалов между точками d и n на пути ncabmd.

;

. (18)

При движении от точки n к точке c потенциал скачком возрастает на величину ЭДС . На участках ca и ab движемся против тока, т.е. в сторону возрастания потенциала, поэтому падения напряжения и входят в выражение (18) со знаком «плюс». Далее на участке bm скачок потенциала, поэтому падение напряжения входит в выражение (18) со знаком «плюс».

Разность потенциалов между точками d и n по кратчайшему пути будет:

U_dn = I₃R₃. (19)

Знак «плюс» соответствует возрастанию потенциала при движении от точки n к точке d по току.

Если при расчете по двум разным путям между одними и теми же точками получается одинаковая разность потенциалов, то можно считать, что токи рассчитаны верно. Это дополнительное средство проверки правильности расчета.

Найдем теперь разность потенциалов между точками b и m на пути mdncab:

U_bm = I₂R₂ – I₃R₃ + E₃ + I₆R₆ + I₄R₄; (20)

. (21)

8. Первый и второй законы Кирхгофа. Составление уравнений для расчета токов в схемах при наличии в них источников ЭДС и тока.

Первый закон Кирхгофа формируется следующим образом: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю. Математически это записывается так:

.(22)

Здесь n – число узлов, для которых составляются уравнения по первому закону Кирхгофа.

Положительными считаются токи, подходящие к узлу, отрицательными – отходящие от узла.

В схеме рис. 15 пять узлов: a, b, c, d, n. Количество уравнений, которые нужно составить по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы:

. (23)

Здесь У=5 число узлов.

Узлы, для которых составляются уравнения, выбираются произвольно.

Составим четыре уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b, c, d:

a) ; (24)

b) ; (25)

c) ; (26)

d)- . (27)

Уравнение для последнего узла не составляется, так как оно может быть выведено из ранее составленных уравнений (24), (25), (26) и (27).

В схеме рис. 15 число ветвей В равно семи, оно всегда равно числу неизвестных токов.

Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого контура равно алгебраической сумме ЭДС того же контура.

.(28)

Здесь n – число контуров, для которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа.

Любой замкнутый путь в схеме называется электрическим контуром. Ветвь с источником тока не учитывается при подсчете числа контуров.

Так в схеме рис. 15 шесть контуров: admba, acnda, abca, cndabc, cadmbc и cndmbc.

Независимым контуром называется такой контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры.

Независимых контуров на схеме рис. 15 всего три: admba, adnca, abca.

Контуры , и не являются независимыми контурами, так как входящие в них ветви уже использованы при составлении первых трех контуров.

Выберем также произвольно направления обхода независимых контуров, например, все по часовой стрелке.

Число уравнений , которые нужно составить по второму закону Кирхгофа равно числу ветвей минус , т.е. число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа

. (29)

Это всегда равно числу независимых контуров

. (30)

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа падение напряжения следует считать положительным, если направление тока в данной ветви совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным – если ток не совпадает с направлением обхода.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:

admba ; (31)

abca ; (32)

acnda I₁R₁ + I₆R₆ – I₃R₃ = -E₃. (33)

ЭДС контура берутся со знаком «плюс», если их направления совпадают с направлением обхода контура, и «минус» - если не совпадают.