Закон Гука для изотропного и анизотропного тела

Закон Гука — физический закон, который устанавливает для большинства конструкционных материалов линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Следу­ет иметь в виду, что материалы подчиняются закону Гука лишь в определенном диапазоне величин действующих на­пряжений, если напряжения не превышают определенной ве­личины, называемой пределом пропорциональности (σ_пц).

Классическая теория упругости построена в предположе­нии справедливости закона Гука. При этом предполагается, что тело однородно, но в общем случае может обладать раз­личными упругими свойствами в разных направлениях. Та­кое тело, упругие свойства которого неодинаковы в различ­ных направлениях, называется анизотропным, в отличие от изотропного тела, у которого упругие свойства в любых на­правлениях одинаковы.

Если тело обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств, то такое тело на­зывают ортогоналъно-ортотропным или просто ортотропным.

Материалы, упругие свой­ства которых не зависят от направления, называются изо­тропными. В этом случае будет минимальное количество уп­ругих постоянных, характеризующих упругие свойства тако­го тела. Таких упругих постоянных будет три — нормальный модуль упругости Е (модуль Юнга), модуль сдвига G и ко­эффициент Пуассона μ. Между этими тремя упругими по­стоянными имеется следующая зависимость:

G=E/[2(1+μ)]

Таким образом, независимыми будут только две из трех упругих постоянных. Для изотропного тела обобщенный закон Гука имеет следующий вид:

(3.2)

Установим связь между объемной деформацией и суммой нормальных напряжений S =σ_х+ σ_у + σ_z. Объемной дефор­мацией называют отношение изменения бесконечно малого объема тела Δdv, вызванного деформацией, к первоначаль­ному объему dv, т. е. Δ = Δdv/dv. Пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно получить для Δ вы­ражение Δ = ε_x + ε_y + ε_z.

Суммируя первые три уравнения (3.2), установим сле­дующую зависимость между объемной деформацией Δ и суммой нормальных напряжений S:

Уравнения обобщенного закона Гука (3.2) разрешены от­носительно деформаций. Если эти уравнения разре­шить относительно нормальных напряжений,введя упругие постоянные Лямэ G и λ, то можно получить иную форму обобщенного закона Гука:

σ_x= 2Gε_x + λΔ, τ_xy= Gγ_xy,

σ_y= 2Gε_y + λΔ, τ_yz= Gγ_yz,

σ_z= 2Gε_z + λΔ, τ_xz= Gγ_xz,

где G – модуль сдвига, а λ=2μG/(1-2μ).