Теплопроводность решетки

Как следует из (3.25) и (3.27), концентрация фононов зависит от температуры и она больше для тех областей твердого тела, температура которых выше. Если принять, что колебания решетки являются строго гармоническими, то на корпускулярном языке это соответствовало бы идеальному фононному газу, который состоит из невзаимодействующих фононов. Скорость распространения таких фононов определяется скоростью распространения упругих колебаний (скоростью звука), которая является достаточно высокой. Такой же должна быть и скорость переноса тепла. В действительности картина передачи тепла является другой.

Как мы знаем, колебания решетки носят ангармонический характер, что приводит к взаимодействию нормальных колебаний и рассеянию их друг на друге. Переход к ангармоническим колебаниям эквивалентен введению взаимодействия между фононами или, другими словами, фонон-фононного рассеяния. Последнее приводит к хаотизации движения фононов, и процесс переноса тепла фононами становится типично диффузионным. Именно этим объясняется сравнительно низкая теплопроводность диэлектриков. В металлах и полупроводниках кроме фононной (решеточной) теплопроводности есть и электронная, обусловленная наличием в них свободных носителей заряда. Для определения коэффициента решеточной теплопроводности можно воспользоваться результатами кинетической теории газов:

, (3.45)

где — теплоемкость единицы объема, и — скорость и длина свободного пробега фононов соответственно.

Найдем характер температурной зависимости решеточной теплопроводности. Длина свободного пробега фононов обратно пропорциональная их концентрации: В области высоких температур концентрация , согласно (3.27), пропорциональная , а теплоемкость не зависит от температуры. Поэтому .

В области низких температур концентрация фононов становится настолько малой, что длина их свободного пробега определятся только размерами кристалла и не зависит от температуры. В этом случае зависимость определяется только зависимостью , которая, согласно (3.36), носит кубический характер. Температурная зависимость решеточной теплопроводности представленная на рис. 3.7.