Возведение в степень.

Если z = r(cosj + i×sinj), то zⁿ = rⁿ(cos(nj) + i×sin(nj)), где n Î Z. Данная формула называется формулой Муавра[9].

Пример 1.15.Для z = – i, найти z⁴.

Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное число записать в тригонометрической форме. В примере 1.12 мы это уже находили z = – i = 2(cos + i×sin ). Тогда
z⁴ = ( – i)⁴ = (2(cos + i×sin ))⁴ = 2⁴(cos + i×sin ) =
= 16(cos + i×sin ) – тригонометрическая форма результата возведения в четвертую степень данного комплексного числа. Найдем также и алгебраическую форму записи числа z⁴. z⁴ = 16(cos + i×sin ) = 16(cos – i×sin ) = 16( – i× ) =
= –8 – 8 ×i.

4. Извлечение корня n-ой степени.

Можно показать, что каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно n корней n-й степени.

Если z = r(cosj + i×sinj), то

= =

(cos + i×sin ), где k = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.16. Найти .

Решение. Пусть z = 16, найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Имеем z = 16 Þ a = 16, b = 0 Þ r = = = 16; т. к. a = 16 > 0, то j = = = = = 0. Тогда z = 16 = r(cosj + i×sinj) = 16(cos0 + i×sin0).

Применяем формулу для нахождения корня n-ой степени.

= = = (cos + i×sin ) =

= 2(cos + i×sin ) , где k = 0, 1, 2, 3. Найдем все четыре корня:

k = 0 Þ w₀ = 2(cos + i×sin ) = 2 (cos0 + i×sin0) = 2,

k = 1 Þ w₁ = 2(cos + i×sin ) = 2(cos + i×sin ) = 2(0 + i×1) = 2i,

k = 2 Þ w₂ = 2(cos + i×sin ) = 2(cosp + i×sinp) = 2(–1 + i×0) = –2,

k = 3 Þ w₃ = 2(cos + i×sin ) = 2(cos + i×sin ) = 2(0 – i)) = –2i.

Замечание. Геометрически все n значений корней n-ой степени из комплексного числа r(cosj + i×sinj) изображаются точками, лежащими на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Если эти точки соединить, то в результате получится правильный n-угольник.