Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме.

1. Умножений.Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z₁ = r₁(cosj₁ + i×sinj₁) z₂ = r₂(cosj₂ + i×sinj₂).

z₁×z₂ = r₁×r₂(cosj₁×cosj₂ – sinj₁×sinj₂) + i×(cosj₁×sinj₂ + sinj₁×cosj₂) = = r₁×r₂(cos(j₁ + j₂) + i×sin(j₁ + j₂)).

Итак, модуль |z₁×z₂| = r₁×r₂, аргумент arg(z₁×z₂) = arg z₁ + arg z₂.

Пример 1.13.Для z₁ = 2(cos + i×sin ) и z₂ = 3(cos + i×sin ) найти их произведение z₁×z₂.

Решение. Применяем формулу для нахождения произведения двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. z₁×z₂ = 2×3(cos( + ) + i×sin( + )) = 6(cos + i×sin ) – тригонометрическая форма произведения чисел z₁ и z₂ или в алгебраической форме z₁×z₂ = 6i.

2. Деление. = = × =

= × =

= ×( cos(j₁ – j₂) + i×sin(j₁ – j₂))

Итак, модуль | | = , аргумент arg( ) = arg z₁ – arg z₂.

Пример 1.14.Для z₁ = 10(cos45° + i×sin45°) и z₂ = 5(cos60° + i×sin60°) найти их частное от деления .

Решение.

= (cos(45° – 60°) + i×sin(45° – 60°)) = 2(cos(–15°) + i×sin(–15°)) – тригонометрическая форма частного чисел z₁ и z₂. Заметим, что если данное выражение записать в виде равносильного выражения
2(cos15° – i×sin15°), то это не будет уже тригонометрической формой записи комплексного числа.