Определение числового ряда. Сходимость ряда.

Сумма первых членов ряда обозначается символом и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

(2)

или

и т.д.

Определение. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел S, называемый суммой ряда.

Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u_n + ...

Если же последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд (1) называется расходящимся (не имеет суммы).

Примером сходящегося ряда может служить так называемый геометрический ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

, (2)

где – знаменатель прогрессии, .

Действительно, для этого ряда

.

Если , то , поэтому предел последовательности существует и равен

.

Следовательно, ряд (2) является сходящимся и можно записать

.

Если в ряде (2) взять , то он принимает вид

(3)

Частичная сумма ряда (3) неограниченно возрастает, значит, не имеет конечного предела. Таким образом, ряд (3) расходится

Упражнение 1. Докажите, что если , а также если , то ряд (2) расходится.

Гармонический ряд.

Рассмотрим ряд

(4)

очевидно, он расходится. Но и ряд

, (5)

составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (4), также расходится. Чтобы доказать расходимость ряда (5), воспользуемся оценкой

.

Значит, в сумме первых слагаемых

каждая из скобок больше ½; количество скобок можно взять любым, подобрав лишь число m. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм является неограниченной. Следовательно, ряд (5) расходится.

Ряд (5)называется гармоническим рядом.