Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Понятие системы линейных уравнений.

Определение 1. Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_ij – называются коэффициентами системы, числа b_ij – свободными членами.

Определение 2. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х_i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы.

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей.

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида, если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

Например, А = или В = - матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

К эквивалентным преобразованиям относят следующие:

· умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.

· Сложение и вычитание уравнений.

· Перестановка уравнений.

· Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

Пример 1

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: