Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
Составим определитель матрицы системы:
Заменим в определителе D первый столбик, соответствующий переменной х1, на столбец свободных членов b1, b2, …,bn, получим определитель Dх1:
Заменим в определителе D второй столбик, соответствующий переменной х2, на столбец свободных членов b1, b2, …,bn, получим определитель Dх2:
Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя D. В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х1, х2 , …, хn используем формулы Крамера:
, , …,
При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:
· если определитель матрицы системы D отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;
· если определитель матрицы системы D равен 0, а среди определителей Dх1, Dх2, …, Dхn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;
· если определитель матрицы системы D равен 0 и все определители Dх1, Dх2, …, Dхn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.
Пример 3.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Выпишем определитель матрицы системы D и вычислим его:
Так как D 0, то система имеет единственное решение.
Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Dх :
Заменим в определителе D второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Dу :
Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:
,
Ответ: (-3;1)
Пример 4.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Выпишем определитель матрицы системы D и вычислим его:
Так как D 0, то система имеет единственное решение.
Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Dх :
Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Dу :
Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Dz :
Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:
, ,
Ответ: (-1; 1; -2)
Задания для самостоятельного решения.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Дата добавления: 2020-04-12; просмотров: 329;