ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

Основное дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности имеет вид:

, ; (2.1)

Практически важной задачей нестационарной теплопроводности является задача о нагреве или охлаждении тел в среде с постоянной температурой. При этом основной интерес представляет расчет температур в характерных точках тела и количества теплоты, подведенной или отведенной от данного тела за некоторый промежуток времени.

Явление характеризуется следующими основными безразмерными величинами:

– число Био; (2.2)

– число Фурье. (2.3)

Для расчета теплового режима тел правильной геометрической формы используем графико-аналитический метод. В основе его лежат графики или таблицы безразмерных температур в характерных точках тел (поверхности и центра):

; (2.4)

; (2.5)

и количества теплоты, которым обменивается тело с окружающей средой за некоторый промежуток времени:

, (2.6)

построенный на основании точных аналитических решений соответствующих задач. Здесь Q₀ – количество теплоты, подведенное или отведенное от тел в течение всего периода теплообмена:

. (2.7)

2-1. Резиновая пластина толщиной 2d=20 мм, нагретая до температуры t₀ = 140 °С, помещена в воздушную среду с температурой t_ж = 15 °С.

Определить температуры в середине и на поверхности пластины через t = 20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплопроводности резины l = 0,175 Вт/(м×К).

Коэффициент температуропроводности резины а = 0,833×10^-7 м²/с. Коэффициент теплоотдачи от поверхности пластины к окружающему воздуху a = 65 Вт/(м²×К).

Ответ. t_x=0 = 47,5 °С; t_x=d= 25,4 °С.

Решение. Температуры в середине и на поверхности безграничной пластины при охлаждении (нагревании) в среде с постоянной температурой можно определить с помощью графиков Q_х=0 = f₁(Bi, Fo) (рис. 2-1) и Q_х=d = f₂(Bi, Fo) (рис 2-2). В рассматриваемом случае

Bi = ad/l = 65×0,01/0,175 =3,73;

Fo = at/d² = 0,833×10^-7×1200/(0,01)² = 1,0.

При этих значениях критериев Bi и Fo по графику на рис. 2-1 находим Q_x=0 = 0,26 и по графику на рис 2-2 Q_x=d = 0,083.

Безразмерная температура

Q = (t - t_ж)/(t₀ - t_ж),

следовательно,

t_x=0 = t_ж + Q_x=0 (t₀ - t_ж) = 15 + 0,26 (140 -15) = 47,5 °С;

t_x=d = t_ж + Q_x=d (t₀ - t_ж) =15 + 0,083 (140-15) = 25,4 °C.

2-2. Для условии .задачи 2-1 определить температуру на расстоянии х = d/2 = 5 мм от середины пластины. Определить также безразмерные температуры в середине и на поверхности пластины расчетным путем и сравнить результаты расчета со значениями Q_x=0 и Q_x=0, полученными в задаче 2-1.

Ответ. t_x=d/2 = 41 °С; Q_x=0 = 0,257; Q_x=d = 0,082.

Решение.Безразмерная температура неограниченной пластины при охлаждении в среде с постоянной температурой выражается уравнением

и безразмерные температуры в середине и на поверхности пластины будут соответственно равны.

Значения величин N, Р, e₁ и e₂ в зависимости от Bi приведены в табл. 2-1.

В рассматриваемом случае при Bi = 3,73 из табл. 2-1 находим:

N = 1,224; P = 0,390, e₁ = 1,248, e₁² = 1,56. Следовательно, при Fo = l

2-3. Определить промежуток времени, по истечении которого лист стали, прогретый до температуры t₀ = 500 °С, будучи помещен в воздушную среду, температура которой t_ж = 20 °C, примет температуру, отличающуюся нe более чем на 1 % от температуры окружающей среды. Толщина листа 2d = 20 мм, коэффициент теплопроводности стали l= 45,5 Вт/(м×К); теплоемкость стали с = 0,46 кДж/(кг×К), плотность стали r= 7900 кг/м³. Коэффициент теплоотдачи от поверхности ласта к окружающему воздуху a = 35 Вт/(м²×К).

Указание. Для оценки характера распределения температуры по сечению листа стали подсчитаем значение критерия Био:

Так как Bi < 0,1, то можно температуру по сечению пластины считать одинаковой во всех точках и воспользоваться формулой

Q = ехр (-Bi Fo).

Ответ: 2 ч 15 мин.

2-4. Определить время t, необходимое для нагрева листа стали толщиной 2d = 24 мм, который имел начальную температуру t₀ = 25°С, а затем был помещен в печь с температурой t_ж = 600 °С. Нагрев считать законченным, когда температура листа достигнет значения t = 450 °C.

Коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность стали равны соответственно l = 45,4 Bт/(м×К); c = 0,502 кДж/(кг×К); r = 7800 кг/м³ а коэффициент теплоотдачи к поверхности листа a = 23,3 Вт/(м²×К).

Ответ. t = 45 мин.

2-5. Длинный стальной вал диаметром d = 2r₀ = 120 мм, который имел температуру t₀ = 20 °C, был помещен в печь с температурой t_ж = 820 °С.

Определить время t, необходимое для нагрева вала, если нагрев считается законченным, когда температура на оси вала t_{r = 0} = 800 °С. Определить также температуру на поверхности вала (при r = r₀) в конце нагрева.

Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали равны l = 21 Вт/(м×К); а = 6,11×10^-6 м²/с. Коэффициент теплоотдачи к поверхности вала a = 140 Bт/(м²×К).

Ответ.t = 51 мин; t(r = r₀) = 804 °С.

Решение. Температуры на оси и поверхности длинного цилиндра при нагревании (охлаждении) в среде с постоянной температурой можно определить с помощью графиков Q_ц = F₁(Bi, Fo) (рис 2-3) и Q_п = F₂(Bi, Fo) (рис. 2-4).

В рассматриваемом случае

При этих значениях Bi и Q_ц по графику па рис. 2-3 находим значение критерия Fo = 5,2. Следовательно, время, необходимое для нагрева вала,

Безразмерную температуру на поверхности вала при Bi = 0,4 и Fo = 5,2 определяем по графику на рис. 2-4:

следовательно, при r = r₀

t = t_ж - 0,02 (t_ж—t₀) = 820 - 0,02×(820 - 20) = 804 °С.

2-6. Определить значения температур на поверхности и на оси вала в условиях задачи 2-5 по истечении 20 и 40 мин после загрузки вала в печь.

Ответ.При t = 20 мин t_п = 656 °С, t_ц = 620 °С;

при t = 40 мин t_п = 763 °С; t_ц = 755 °С.

2-7. Для условий задачи 2-5 определить температуру на расстоянии r =0,5×r₀ от оси вала через t = 20 мин после начала нагрева.

Определить также расчетным путем температуры на поверхности и оси вала по истечении того же промежутка времени и сравнить результат расчета с ответом к задаче 2-6.

Ответ. При r = 0 t = 621 °С; при r = 0,5r₀ t = 630 °С;

при r = r₀ t = 656 °С.

График распределения температур по сечению вала представлен на рис. 2-5 (t = 2мин).

Решение.Безразмерная температура длинного цилиндра при нагревании (охлаждении) в среде с постоянной температурой выражается уравнением

(2-2)

где J₀(e_n) и J₁(e_n) - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков. Так как в рассматриваемом случае критерий

Fo = a×t /r₀² = 6,11×10^-6×1200/(60×10^-3)² = 2,04 > 0,25,

то можно ограничиться первым членом ряда, тогда

Q = N₀×J₀(e₁×r/r₀) exp(-e₁²Fo)

и безразмерная температура на оси цилиндра (при r = 0)

Q = N₀ exp(-e₁²Fo),

а безразмерная температура на поверхности цилиндра (при r = r₀)

Q = P₀ exp(-e₁²Fo).

Значения величин N₀, P₀, e₁ и e₁² в зависимости от Bi приведены в табл. 2-2.

В рассматриваемом случае при Bi = 0,4 из таблицы находим:

N₀ = 1,093; P₀ = 0,903; e₁ = 0,8516, e₁² = 0,726.

Следовательно, при Fo = 2,04 при r = 0,5r₀

Q = l,093 J₀(0,8516/2)exp(-0,726×2,04) = 1,093×0,9548×0,2276 = 0,238;

t = t_ж - Q (t_ж - t₀) = 820 - 0,238×800 = 630 °C.

При r = 0 Q = 1 ,093×0,2276 = 0,2485; t = 820 - 0,2485×800 = 621 °C.

При r = r₀ Q = 0 903×0,2276 = 0,205; t = 820 - 0,205×800 = 656 °С.

Рис 2-5. К задачам 2-6 и 2-7. Рис. 2-6. К задаче 2-8.

2-8. Стальной слиток, имеющий форму параллелепипеда с размерами 200´400´500 мм (рис. 2-6), имел начальную температуру t₀ = 20 °С, а затем был помещен в печь с температурой t_ж= 1400 °С.

Определить температуру t_ц в центре слитка через t = 1,5 ч после загрузки его в печь. Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали соответственно равны l = 37,2 Вт/(м×К), a = 6,94×10^-6 м²/с, а коэффициент теплоотдачи на поверхности слитка a = 186 Вт/(м²×К).

Ответ.t_ц = 1282 °С.

Решение.Безразмерная температура любой точки параллелепипеда равна произведению безразмерных температур трех безграничных пластин, пересечением которых образован параллелепипед. Следовательно, температуру в центре параллелепипеда можно найти из уравнения

Температуры пластин t_x=0, t_y=0, t_z=0 можно найти с помощью графика зависимости температуры середины безграничной пластины от критериев Bi и Fo (см. рис. 2-1). Для пластины толщиной 2d_x = 200 мм имеем:

По графику находим, что при Fо_x = 3,75 и Bi_x = 0,5

Аналогично для пластины толщиной 2d = 400 мм имеем:

Fо_y = 0,937; Bi_y = l,0.

По графику находим:

Для пластины толщиной 2d_z = 500 мм

Fо_z = 0,6; Bi_z = l,25.

Следовательно,

и температура в центре слитка

t_ц = t_ж - 0,0852(t_ж - t₀)= 1400 - 0,0852(1400 - 200) = 1282 °C.

2-9. При условиях нагревания слитка, рассмотренных в задаче 2-8, найти температуры в серединах граней размером 200´400 мм и 200´500 мм.

Ответ. При x = 0; y = 0; z = d_z t =1331 °С;

при x = 0; y = d_у; z = 0 t = 1323 °С.

2-10 Стальная болванка цилиндрической формы диаметром d = 80 мм и длиной l = 160 мм (рис. 2-7) в начальный момент времени была равномерно нагрета до температуры t₀ = 800 °C. Болванка охлаждается на воздухе, который имеет температуру t_ж = 30 °С. Определить температуру в центре болванки (при x = 0 и r = 0), и в середине торцевой поверхности (при r = 0; x = l/2) через t = 30 мин после начала охлаждения. Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно: l = 23,3 Bт/(м×К), а = 6,11×10^-6 м²/c.

Коэффициент теплоотдачи от

поверхности болванки a = 118 Вт/(м² ×К). Рис. 2-7. К задаче 2-10

Ответ.t_{r = 0; x = 0} = 55 °С; t_{r = 0; x = l/2} = 50 °C.

2-11. При условиях охлаждения стальной болванки, рассмотренных в задаче 2-10, определить температуру в центре болванки и в середине торцевой поверхности, если ее размеры увеличены в 2 раза, т. е. d = 160 мм и l = 320 мм, а все остальные условия остаются без изменений.

Ответ.t_{r = 0; x = 0}= 211 °С; t_{r = 0; x = l/2} = 153 °С.

2-12. Длинная стальная балка прямоугольного сечения с размерами в поперечном сечении 400´320 мм в начальный момент времени имела температуру t₀ = 1000 °С, а затем была помещена для охлаждения в среду с температурой t_ж = 20 °C. Коэффициент теплопроводности стали l = 32 Вт/(м×К) и температуропроводности а = 7×10^-6 м²/с; коэффициент теплоотдачи с поверхности балки в процессе охлаждения оставался постоянным и равным 170 Bт/(м²×К). Рассчитать температуру на оси балки для t = 1, 2, 3 и 4 ч после начала охлаждения.

Ответ.Q₁ = 0,403; Q₂ = 0,130; Q₃ = 0,0424; Q₄ = 0,0137;

t₁ = 415 °С; t₂ = 148 °С; t₃ = 62 °С; t₄ = 23 °C.

2-13. Стальная пластина толщиной 2d = 400 мм нагревается в печи, имеющей постоянную температуру t_ж = 800 °С. Температура пластины в момент помещения ее в печь была всюду одинаковой и равной t₀ = 30 °C. Коэффициент теплоотдачи к поверхности пластины в процессе нагрева оставался постоянным и равным a = 200 Вт/(м²×К). Два других размера пластины велики по сравнению с толщиной и температурное поле пластины можно рассматривать как одномерное. Определить количество теплоты, которое будет подведено к 1 м² пластины в течение 2 ч после начала нагрева. Коэффициент теплопроводности стали l = 37,2 Вт/(м×К) и температуропроводности a = 7× 10^-6 м²/с, плотность r= 7800 кг/м³.

Ответ.`Q = 0,098; Q = 1470×10³ кДж/м².

Решение.Расчет количества теплоты, отданной (воспринятой) пластиной в процессе охлаждения (нагревания) за промежуток времени от t = 0 до t, практически сводится к вычислению средней безразмерной температуры в момент t, т. е. может быть вычислено по формуле

Q = Q_п(1 -`Q). (2-3)

Здесь Q_п - полное количество теплоты, Дж, которое может быть отдано или воспринято пластиной за время от t = 0 до t = ¥:

Q_п = 2d×f×r×c(t₀ - t_ж), (2-4)

где f - площадь поверхности одной стороны пластины.

Средняя безразмерная температура в момент времени т для пластины может быть вычислена по формуле

. (2-5)

Подставляя соответствующие значения величин, заданных в условиях задачи, в формулу (2-4), получаем:

Q_п = 1630×10³ кДж/м²,

где

c = l/(ra)= 37,2/(7800×7×10^-6) = 682 Дж/(кг×К)

Вычислим критерии Fo и Bi:

Fo = at/d² = 7×10^-6×7200/0,2² = 1,26;

Bi = ad/l = 1,075.

Значение критерия Fo > 0,3, и для вычислений с достаточной точностью можем воспользоваться первым членом суммы (2-5). По значению Bi из табл. 2-1 находим значение e₁. Подставив значение e₁ в формулу (2-5), найдем:

`Q = 0,098.

Подставив вычисленные значения Q_п и`Q в уравнение (2-3), найдем:

Q = 1630×10³(1- 0,098) = 1470×10³ кДж/м².

2-14. Стальной цилиндр диаметром d = 500 мм охлаждается в среде, имеющей постоянную температуру t_ж = 15 °С. В начальный момент времени температура цилиндра была всюду одинакова: t₀ = 450 °С. Коэффициент теплоотдачи во всех точках поверхности цилиндра в процессе охлаждения оставался постоянным и равным a = 160 Вт/(м²×К).

Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность стали соответственно равны: l = 49 Вт/(м×К); а = 1,4×10^-5 м²/с: r = 7850 кг/м³.

Определить количество теплоты, которое будет отдано 1 м цилиндра окружающей среде в течение трех часов после начала охлаждения.

Ответ.Q = 297×10³ кДж/м

2-15. Стальная болванка в форме прямоугольного бруска с размерами сторон 480´360´280 мм нагревается в печи с постоянной температурой t_ж = 800 °С. Все точки болванки перед началом нагрева имели одинаковую темературу t₀ = 20 °С.

Коэффициент теплоотдачи к поверхности всех граней бруска в процессе нагрева оставался постоянным, и равным 200 Вт/(м²×К). Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность стали соответственно равны: l = 37,2 Вт/(м×К); а = 7×10^-6 м²/с; r = 7800 кг/м³. Определить количество теплоты, которое воспримет брусок в течение 2,5 ч после начала нагрева.

Ответ.Q = 189×10³ кДж.

2-16. Стальная цилиндрическая болванка диаметром d = 620 мм и длиной l = 700 мм охлаждается в среде с постоянной температурой t_ж = 20 °C. Температура болванки до начала охлаждения была t₀ = 600°C. Коэффициент теплоотдачи с поверхности болванки в процессе охлаждения оставался постоянным и равным 160 Вт/(м²×К).

Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность стали соответственно равны: l = 49 Вт/(м×К); а = 1,4×10⁵ м²/с; r = 7850 кг/м³. Определить количество теплоты, которое будет отдано цилиндром окружающей среде через 2,8 ч после начала охлаждения.

Ответ.Q = 426 ×10³ кДж.

2-17. Кирпичная стена толщиной 2d = 500 мм обеими поверхностями соприкасается со средой, имеющей температуру 18 °С. Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность материала соответственно равны: l = 0,7 Вт/(м×К); а = 0,647×10^-6 м²/с; r = 1700 кг/м³. Как изменится температура на поверхности и в середине кладки в течение 1 ч, если температура среды внезапно понизилась до 8 °С? Коэффициент теплоотдачи с поверхности кладки остается постоянным и равным 7 Вт/(м²×К).

Замечание. В задаче число Fo < 0,3, поэтому для нахождения температуры нельзя ограничиться только первым членом ряда, а необходимо вычислить не менее трех членов суммы. Значения корней уравнения (2-1) можно найти в таблицах.

Ответ.Температура поверхности кладки t_x=d = 14,3 °C. Температура середины кладки t_x=0 = 18 °C, следовательно, по истечении 1 ч температурные возмущения практически еще не достигнут середины стены.

2-18. В экспериментальной установке для определения коэффициента температуропроводности твердых тел методом регулярного режима исследуемый материал помещен в цилиндрический калориметр диамет-ром d = 50 мм и длиной l = 75 мм. После предварительного нагрева калориметр охлаждается в водяном термостате (рис. 2-8), температура воды t_ж в котором поддерживается постоянной и равной 20 °С.

Вычислить значение коэффи-циента температуропроводности испытуемого материала, если в процессе охлаждения после наступления регулярного режима температура образца в месте заделки термопары за Dt=7 мин уменьшилась с t₁= 30 °C до t₂ = 22 °С.

Ответ.а = 3,47×10^-7 м²/с.

Рис. 2-8. К задаче 2-18

2-19. В экспериментальной установке для определения коэффициента теплопроводности твердых тел методом регулярного режима исследуемый материал помещен в шаровой калориметр радиусом r₀ = 30 мм. После предварительного нагрева калориметр охлаждается в воздушном термостате, температура в котором t_ж поддерживается постоянной и равной 20 °С.

В результате предварительных исследований установлено, что коэффициент теплоотдачи от поверхности калориметра к воздуху a = 7 Вт/(м²×К) и коэффициент температуропроводности материала a = 3,47 ×10^-7 м²/с (см задачу 2-18).

Вычислить коэффициент теплопроводности испытуемого материала, если в процессе охлаждения после наступления регулярного режима температура в центре калориметра за Dt=15 мин уменьшилась от t₁ = 27 °С до t₂ = 24 °С.

Ответ.l = 0,35 Вт/(м·К).

2-20. Определить темп охлаждения тела, имевшего при t = 0 равномерную температуру t₀ = 210 °C. Тело было помещено для охлаждения в среду с постоянной температурой t_ж = 195 °С. Результаты измерения избыточной температуры тела во времени в делениях шкалы гальванометра приводятся ниже

Ответ.m = 2,2×10^-3 1/c.

2-21. Определить коэффициент теплоотдачи при свободной конвекции от поверхности шара к воздуху. Шар диаметром d = 60 мм выполнен из стали и в период регулярного охлаждения имел темп охлаждения m = 16,7×10^-5 1/c. Принят коэффициент неравномерности распределения температуры y = 1. Плотность и теплоемкость стали приняты r = 7900 кг/м³ и с = 460 Дж/(кг×К).

Проверить, можно ли принимать в данном случае y = 1.

Ответ. a = 6,06 Вт/(м²×К).

Литература

1. Вукалович. М. П. Таблица термодинамических свойств воды и водяного пара. Изд.-7-е.М.: Госэнергоиздат,1963.

2. Теплопередача: учебник для вузов. В. П. Исаченко, В. А. Осипова, А. С. Сукомел .-4-е изд., перер. и доп.-М.-.: Энергоиздат, 1981.-416 с.

3. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена.- Новосибирск: Наука.Сибирск. отд-ние, 1970.-660с.

4. Лабунцов Д. А, Теплоотдача при пленочной конденсации чистых паров на вертикальных поверхностях и горизонтальных трубах.- Теплоэнергетика, 1957, №7, с. 72-80.

5. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. М.:Энергия,1973-320 с.

6. Шорин С. Н. Теплопередача. М.: Высшая школа,1964.-490 с.

7. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена.-М.:Госэнергоиздат, 1961-660 с.

8. Теория тепломассообмена: ечебник для вузов. Исаев С. И., Кожанов И. А., Кофанов В. И. И др.; под редакцией Леонтьева А. И.-М.: Высшая школа, 1979-495 с., ил.

9. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ (справочник).-М.-Л.:Госэнергоиздат,1956.-386с.

10. Лыков А. В. Тепломассобмен (справочник), 2-е изд., перераб. и доп.-М.:Энергия,1978.-480 с.

11. Краснощеков Е. А., Сукомел А. С. Задачник по теплопередаче: учебное пособие для вузов.-4-е изд., перераб.-М.:Энергия,1980-288 с., ил.