Закономерности свободного и стеснённого падения частиц в водной и воздушной средах.

Классификация происходит в условиях свободного или стесненного падения зерен. Свободное падение представляет собой движение единичных зерен в среде, исключающей их взаимное воздействие друг на друга. Под стесненным падени­ем понимается движение множества зерен в виде такой массы, когда помимо гравитационных сил и сил сопротивления сре­ды на движение зерен оказывает влияние динамическое воз­действие непрерывно сталкивающихся окружающих зерен.

Скорость свободного падения зерна определяется соотно­шением силы тяжести, подъемной (архимедовой) силы и силы со­противления среды, которая зависит от режима движения зерна.

При ламинарном режиме тело движется с малой скоро­стью, потоки среды как бы омывают его, не образуя завихре­ний. Сопротивление Р_В определяется главным образом вязко­стью среды μ и количественно описывается законом Стокса:

(2.5)

где v - скорость движения зерна; d - диаметр зерна.

Турбулентный режим движения характерен для высоких скоростей движения и сопровождается образованием вихрей у поверхности тела и позади него. Динамическое или инерци­онное сопротивление среды перемещению тела изменяется в этом случае по закону Ньютона — Риттингера:

(2.6)

где k — коэффициент (равный 1/2, по Риттингеру); F - площадь проекции тела (равна для шара); — плотность среды.

В реальных условиях движущееся зерно испытывает од­новременное действие как сопротивления от вязкости Р_в, так и динамического сопротивления Р_д, но степень их проявления различна. Характеристикой соотношения сил сопротивлений Р_д и Р_в и, следовательно, режима движения минерального зер­на в среде является безразмерный параметр Рейнолъдса (Rе)

откуда в общем виде:

(2.7)

При значениях Rе < 1 наблюдается ламинарный режим движения частиц, размер которых не превышает 0,1 мм. При значениях Rе > 1000 и размере частиц более 2 мм наблюдается турбулентный режим движения. Переходной области от лами­нарного к турбулентному режиму движения отвечают значе­ния Rе от 1 до 1000, а крупность частиц от 0,1 до 2 мм. Сопротивление среды для этой области можно рассчитать по формуле Аллена:

(3.8)

Если подставить значение ц из формулы (3.7) в выраже­ние (2.5) (2.9)

и сравнить выражения для Р_д [формула (3.6)], для Р_а[формула (2.8)] и для Р_в [формула (2.9)], то обнаружим, что общий закон сопротивления среды движению зерна описывается формулой

P = Ψv²d²Δ (2.10)

где Ψ=.f(Re) — коэффициент сопротивления. Графическое изо­бражение зависимости Ψ=.f(Re) в логарифмических коорди­натах, носящее название диаграммы Рейлея (рис. 2.5, кривая Ψ), указывает на постепенный переход от ламинарного к турбу­лентному режиму движения по мере возрастания параметра Rе.

Рис. 2.5.Зависимость коэффициента сопротивления Ψ и параметра Re²Ψ от числа Рейнольдса (Rе)

Гравитационная сила G, вызывающая падение зерна, бу­дет определяться весом тела в среде. В соответствии с законом Архимеда для шарообразного тела объемом

(2.11)

где δ — плотность зерна; g — ускорение силы тяжести.

Результирующая сила Р₁ускоряющая движение зерна в среде, определится как разность между гравитационной силой G и силой сопротивления Р [формула (2.10)]

или (2.12)

Увеличение скорости движения частиц в начальный мо­мент под действием гравитационной силы вызывает возрас­тающее сопротивление среды и через доли секунды частица начинает падать с постоянной скоростью v₀

В этих условиях и

откуда (для общего случая):

(2.13)

При ламинарном режиме, на основании уравнений (2.5) и (2.11):

(закон Стокса). (2.14)

При переходном режиме, на основании формул (2.8) и (2.11):

С учетом выражения для Rе:

(закон Алена) (2.15)

При турбулентном режиме, на основании формул (2.6) и (2.11):

(закон Риттингера). (2.16)

Универсальный метод, пригодный для определения ко­нечных скоростей движения зерен любой крупности, плотно­сти, формы, предложил П.В. Лященко. Он учел, что на основа­нии формул (2.7) и (2.10) можно составить систему уравнений:

(2.17)

в результате совместного решения которой получим выраже­ние для параметра Rе² Ψ

(2.18)

Поскольку при установившемся движении Р = G, то, под­ставляя в формулу (2.18) вместо Р выражение для G из фор­мулы (2.11), находим:

(2.19)

По уравнению (2.19) на основании известных параметров зерна и среды легко рассчитать значение параметра Rе²Ψ и ис­пользовать его для определения параметра Rе по диаграмме Rе²Ψ = f(Rе), построенной на основе диаграммы Рейлея Ψ =f(Re) и изображенной на рис. 2.5. После этого можно опре­делить конечную скорость падения частицы или непосредст­венной подстановкой полученного значения Rе в формулу (2.7) или подстановкой значения Ψ, найденного по значению Rе на диаграмме Рейлея (см. рис. 2.5, кривая Ψ), в формулу (2.13).

Пример 1. Определить конечную скорость движения в воде зерна угля размером d = 25 мм (0,025 м), плотностью δ = 1350 кг/м³, принимая дина­мический коэффициент вязкости воды при температуре 293 К равным μ = 0,001 Н-с/м², плотность Δ = 1000 кг/м³ g= 9,81 м/с².

По формуле (3.19) значение Rе²Ψ равняется 2807×10⁴. На диаграмме Rе²Ψ = f(Rе) (см. рис. 3.5) этому значению соответствует значение Rе = 12400. По формуле (3.7) v=v₀= 0,496 м/с. Расчет скорости по формуле (3.13) для значения Ψ= 0,183 (соответствующего найденному значению Rе= 12400) показывает идентичные результаты.

Пример 2. Определить конечную скорость движения в воздухе зерна кварца размером d = 1 мм (0,001 м), плотностью δ = 2500 кг/м³, принимая динамический коэффициент вязкости воздуха μ = 0,00002 Н-с/м², плот­ность Δ = 1,23 кг/м³.

По формуле (3.19) значение Rе²Ψ = 39 447. На диаграмме (см. рис. 3.5) этому значению соответствует Rе = 400. По формуле (3.7) скорость v=v₀= 7, 18 м/с.

При расчете скоростей падения зерен неправильной фор­мы пользуются эквивалентным диаметром d_э частиц, т. е. ди­аметром шара, одинакового с частицей объема:

и в расчетные формулы вводят поправочный коэффициент фор­мы К_ф, представляющий собой отношение поверхности равно­великого шара к поверхности зерна неправильной формы и рав­ный: 1,0 — при шарообразной; 0,8—0,9 — -при округлой; 0,7 — 0,8 — при угловатой; 0,6 — 0,7 — при пластинчатой форме частиц.

Скорость стесненного падения v_ст зерен всегда меньше ско­рости их свободного падения v_о (например, для кварца в 2,76 раза, для галенита в 3,47 раза). Установлена существенная за­висимость скорости стесненного падения от степени разрых­ления или взвешенности минеральных частиц в среде, харак­теризуемой коэффициентом разрыхления Θ_Р, равным отно­шению объема свободного пространства между зернами к пол­ному объему, занимаемому разрыхленной смесью (значение всегда меньше 1). По П. В. Лященко,

(2.20)

Формула (2.20) пригодна для определения скорости стес­ненного падения зерен крупностью менее 0,2 мм при класси­фикации тонкозернистого материала. Для определения у_ст бо­лее крупных зерен — от 0,2 до 12,5 мм — пользуются фор­мулой Ханкока:

(2.21)

Зерна различной крупности и плотности, но имеющие оди­наковые конечные скорости движения в среде, называются равнопадающими, т. е. v₀₁=v₀₂. В общем случае на основании формулы 2.13:

Откуда

(2.22)

Отношение диаметров равнопадающих легкого и тяжело­го зерен называется коэффициентом равнопадаемости (е).

Обозначив через К₁и К₂постоянные коэффициенты, учи­тывающие влияние реологических параметров среды и формы соответственно для легких и тяжелых зерен на основании фор­мул (2.14) — (2.16) находим:

для ламинарного режима движения [формула (2.14)]

(2.23)

для переходного режима движения [формула (2.15)]

; (2.24)

для турбулентного режима движения [формула (2.16]

(2.25)

В материале, поступающем на гравитационное обогаще­ние, основанное на использовании различия скоростей паде­ния разделяемых зерен, не должны присутствовать их равнопадающие зерна. Для этого материал подвергают предвари­тельной классификации по крупности, шкала (модуль) кото­рой не должна превышать коэффициент равнопадаемости.