Определение: Формализованное представление закономерностей поведения реальных систем в виде абстрактных математических аналогов получило название математическое моделирование.

Математическое описание технологических процессов

Математические модели

Определение: Формализованное представление закономерностей поведения реальных систем в виде абстрактных математических аналогов получило название математическое моделирование.

Процессы и объекты машиностроительной промышленности относятся к категории сложных. Такие процессы (объекты) характеризуются большим числом взаимосвязанных фак­торов, наличием неконтролируемых возмущений и случайным изменением во времени ха­рактеристик. Сущность математического описания объекта (систе­мы) или процесса заключается в получении математической модели, связывающей характеристики входящих в объ­ект параметров с выходящими, т.е.

У=А{Х}, (1)

где У — совокупность выходных параметров процесса, которые определяют свойства выходящего про­дукта. Часто этот параметр называют критерием оптимизации, параметром оптимизации, целевой функцией отклика, выходом "черного" ящика или , наконец, реакцией динамической системы.

Х — совокупность входных параметров (факторов), определяю­щих характеристики объекта и свойства входящего материала. Часто входные факторы называют аргументами, входными пара­метрами, входами "черного" ящика или внешними воздействиями на систему;

А { } — символ, называемый оператором, который характеризует математическую операцию преобразования входных функций Х_i(t) в функцию выхода Y_i(t), т.е. математическую модель объекта или системы.

Этот оператор может представлять собой некий алгоритм, формулу или их цепочку, систему уравнений (алгебраических или дифференциальных), нейронную сеть и т.д.

Математическую модель объекта удобно представить в виде блок-схемы, т.е. параметрической схемы, в которой прямоугольник соответствует объекту или системе, стрелки X, Х(t) означают вход­ные параметры (факторы) или воздействия на систему, а стрелки У, У(t) — выходные параметры. На схеме внутри прямоугольника вписывают оператор или динамическую характеристику.

Рис. 1 Блок-схема математической модели

Зная математическую модель процесса или объекта, можно спрогнозировать свойства выходящего продукта, оценить степень влияния входных факторов с целью разработки схемы контроля и стабилизации наиболее сильно влияющих факторов, а также осу­ществить оптимизацию процесса.

Одним из примеров простейших математической моделей, например, является описание процесса равномерного прямолинейного движения материальной точки. Такую модель можно сформулировать следующим образом: относительная координата объекта=скорость материальной точки умножить на время с начала отсчета. Здесь координата объекта выходной параметр, скорость и время – входные параметры, умножение – есть оператор.

Математическая модель считается адекватной объекту, если с достаточной точностью отражает ее поведение, т.е. изменения вы­ходных параметров при варьировании (изменении) входных пара­метров (факторов) в заранее заданном диапазоне.

В основу классификации математических моделей положены следующие признаки:

1. Число и характеристика аргументов :

а) если входные параметры процесса или оператор не зависят от аргументов, то математическая модель называется статической. Этот вид модели обычно описывается алгебраическим уравнением:

Y = f(X₁,…, X_n) (2)

б) если входные параметры процесса или оператор зависят от аргументов, то такая модель называется динамической. Если пара­метр процесса или оператор зависит только от одного аргумента Например от времени Х==Х(t), модель называется динамической мо­делью с сосредоточенными параметрами, т.е.

Y(t) = A(t){X(t)} (3)

Эти модели описываются обыкновенными дифференциальны­ми уравнениями;

в) если число независимых аргументов более одного (например, время и пространственные координаты), то такая модель называется математической моделью с распределенными параметрами, т.е.

У(t,x,y,z)=А(t,x,y,z){Х(t,x,y,z)}. (4)

Эти модели описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

2. Природа исследуемого процесса или объекта. По этому признаку модели делятся на вероятностные и детерминированные.

В вероятностной модели учитывается случайная природа входных параметров или оператора. Вероятностные модели могут быть нескольких видов:

а) если выходной параметр процесса представляет случайную величину, а факторы (входные параметры) являются не случайными, то математическая модель называется регрессионной (регрессия — движение назад). Случайные значения выходного параметра могут быть обусловлены, например, воздействием части неучтенных факто­ров. Эта модель позволяет предполагать, что причина изменения вы­ходного параметра содержит в себе две части: одна неслучайная, яв­ляется функцией факторов; другая случайная, не связана с факторами.

При построении регрессионных моделей используются раз­личные виды алгебраических уравнений;

б) если выходной параметр процесса и факторы представляют случайные величины с определенным законом распределения, то взаимосвязь между ними или математическая модель процесса назы­вается корреляционной (корреляция — соотношение). В этом случае к вопросам выяснения зависимости между случайными величинами параметров процесса еще добавляются вопросы исследования степе­ни связи между ними, и при построении этих моделей используется корреляционный анализ случайных величин;

в) в детерминированной модели не учитывается случайная природа входных параметров процесса или оператора, а выходные параметры процесса однозначно определяются факторами и опера­тором процесса. В этом случае не требуются математико-статистические методы анализа процесса.

3. Свойство линейности модели. Математическая модель на­зывается линейной, если линеен оператор системы. Оператор А{ } называется линейным, если выполняется равенство

A{X+DX}=A{X}+A{DX} (5)

где DХ — символ произвольного приращения входных параметров.

Это свойство линейного оператора называется также свой­ством суперпозиции, или наложения. Если это равенство не выпол­няется, то оператор и соответственно модель называется нелинейной.