Аналитическое решение плоской задачи теории пластичности.

Предлагается решение плоской задачи теории пластичности с использованием современного метода решения задач механики сплошной среды - метода аргумент функций.

Задача решается в напряжениях без привлечения деформационной составляющей. Привлекаются уравнения равновесия, обобщенное уравнение равновесия и граничные условия в напряжениях. Уравнение Прандтля имеет вид:

,

где - интенсивность касательных напряжений.

Используя тригонометрическую подстановку, удается линеаризировать уравнение Прандтля, имеем:

, .

где - неизвестная функция или первая аргумент функция. Граничные условия имеет вид:

.

где - угол наклона площадки.

Используется фундаментальная подстановка с привлечением второй аргумент функций, вида:

,

определяется функциональная зависимость вида

.

Подставляя касательные напряжения в уравнения равновесия, интегрируя, получим:

, ,

,

при выполнении соотношений Коши-Римана:

, ,

и уравнений Лапласа:

, .

С использованием полученных решений рассмотрим задачу осадки полосы на шероховатых бойках. Для более полного удовлетворения граничных условий, искомые функции можно представить в виде суммы гармонических функций, т.е. , . Тогда из уравнений Лапласа и соотношений Коши-Римана определяем аргумент функции, имеем:

,

.

В выражениях постоянные величины определялись из реальных граничных условий:

,

, ,

и - длина, и высота очага деформации при осадке полосы, - коэффициент трения. Коэффициент:

,

при этом:

,

Имеем рабочие формулы для расчета контактных напряжений при осадке на шероховатых бойках:

, ,

.

На рис. 2.3 и 2.4 представлено распределение нормальных и касательных напряжений на контакте полосы при разных значениях фактора формы и коэффициента трения . Анализ вычислений по выражениям показывает, что решения плоской задачи реагирует на технологические параметры процесса, т.е. коэффициент трения и фактор формы.

Рисунок 2.4 - Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках ,

Рисунок 2.5 - Распределение нормальных и касательных напряжений на контакте при осадке на шероховатых бойках ,

С увеличением коэффициента трения растут контактные нормальные и касательные напряжения. При этом наблюдается ограничение роста с увеличением коэффициента трения. Фактор формы очага деформации оказывает существенное влияние на величину и характер распределения напряжений по длине очага деформации. При этом получены простые выражения для расчета, единые для всего очага деформации.