Аналитическое решение плоской задачи теории упругости.

Выше приведенные теоретические материалы теории упругости можно использовать при постановке и решении задач теории упругости. В литературе рассматривается множество направлений и упрощений для прикладных вопросов механики сплошной среды. Одним из упрощений является использование плоской задачи вместо пространственной.

Постановка плоской задачи теории упругости включает уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций и граничные условия. Уравнение неразрывности деформаций выражено через напряжения, за счет уравнений равновесия и закона Гука.

Имеем следующую постановку плоской задачи:

уравнения равновесия

уравнение неразрывности деформаций

,

граничные условия в напряжениях

,

где - среднее нормальное напряжение или гидростатическое давление.

Граничные условия в такой постановке вызывают вопросы. Их следует обозначить для дальнейших исследований. Используя выражение интенсивности касательных напряжений, для плоской задачи:

,

можно определить разность нормальных напряжений:

.

При подстановке выражений в граничные условия, имеем:

,

В таком виде, задача не решается. Однако, используя тригонометрическую подстановку:

,

задача с граничными условиями значительно упрощается:

,

где - функция координат очага деформации, совпадающая по функциональному назначению с интенсивностью касательных напряжений.; – постоянный коэффициент, определяющий упругое состояние деформируемой среды; - функция координат, характеризующая контактные касательные напряжения, одна из вводимых в рассмотрение аргумент функций; - угол наклона площадки.

Для линейных дифференциальных уравнений в частных производных принимается экспоненциальная подстановка вида:

,

где - неизвестная и вторая аргумент функция.

Тогда касательные напряжения и разности нормальных напряжений запишутся:

,

.

При подстановке касательных напряжений в уравнение равновесия, получим:

, .

Записывая конечный результат интегрирования задачи, в конечном виде имеем:

,

.

,

при условии

, .

, .

Дифференциальные соотношения между аргумент функциями представляют собой соотношения Коши-Римана и уравнения Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнениям Лапласа, называются гармоническими.

Анализируя выражения для нормальных напряжений, убеждаемся в том, что задача еще не решена, т.к. неизвестны значения средних нормальных напряжений. Для их определения воспользуемся уравнением неразрывности деформаций, в виде:

,

где .

Такое выражение принято на основании того, что в формулах для нормальных напряжений эта зависимость является определяющей. Для того, что бы решить уравнение Лапласа необходимо взять производные по координатам и подставить в уравнение. После подстановки имеем два оператора, вида:

+ =0.

где - мнимая единица.

Если будет доказано, что оба оператора равны нулю тогда уравнение Лапласа превращается в тождество, и среднее напряжение считается определенным. При этом должно выполняться условие существование решения:

, .

, .

В итоге решение плоской задачи теории упругости имеет вид:

,

.

,

,

при условии

, .

, .

Для достоверности полученного результата протестируем выражения на конкретном практическом примере. Покажем влияние их построения на распределение контактных напряжений в упругой зоне. Исследуем напряженное состояние упругого полупространства под действием силы P массивного штампа, шириной 2b, (рис. 4.5).

Рисунок 4.5 - Действие плоского штампа на упругое полупространство

На контакте отсутствуют касательные напряжения. В реальных условиях задача может отнестись к геомеханике. Представляет интерес нагружение слоев грунта под действием массивных сооружений. В результате подстановки граничных условий окончательно имеет расчетные значения формул:

,

где – положение точки в глубине полуплоскости в случае экстремального значения тригонометрической функции. Если задать положение на контакте, т. е. y=0:

.

Видно, что экстремальные значения тригонометрических функций находятся не только на контакте, но и в глубине полупространства.

На рис. 4.6 показано распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине полупространства. Графики выполнены с использованием относительных величин и где – минимальное значение нормальных напряжений в зоне деформации.

Рисунок 4.3 - Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине полупространства при действии плоского штампа без учета трения.

Особенностью данного решения является затухание поверхностного воздействия по мере увеличения вертикальной координаты, т.е. глубины пространства. В пределе напряжения равны нулю. Полученные расчетные данные соответствуют реальному распределению напряжений вдоль и поперек внешнего нагружения.