Закон упругого изменения объема и закон упругого изменения формы

Ранее было получено выражение:

.

Среднее напряжение прямо пропорционально средней деформации. Так как, , то . Среднее напряжение в точке пропорционально объёмной деформации в окрестности той же точки.

Выражения определяют закон упругого изменения объёма. Этот закон справедлив и при высоких значениях гидростатического давления, значительно превышающих обычный предел упругости материала.

Если в выражениях для нормальных напряжений отнять от левых и правых частей величину , тогда:

.

Подставляя , получим .

В итоге:

; ,

; ,

; .

Выражения широко применяются в теории пластичности. Если левые и правые части выражения назвать компонентами напряжений изменения формы с компонентами деформаций изменения формы, то обобщенный закон упругости является законом изменения формы. Формулируется так: компоненты напряжений и деформаций, соответствующие изменению формы, пропорциональны друг другу.

Систему зависимостей можно представить в виде таблицы

Как известно, левую матрицу называют девиатором напряжений, а правую – девиатором деформаций, тогда

.

Девиатор напряжений пропорционален девиатору деформаций. Выражения определяют также закон изменения формы.

Используя закон изменения объема и понятие о шаровых тензорах, имеем:

т.е. шаровой тензор напряжений пропорционален шаровому тензору деформации, где

.