Основной закон и уравнение теплопроводности
Опытным путем установлено, что плотность теплового потока, передаваемого теплопроводностью, прямо пропорциональна градиенту температуры:
(1)
где l - коэффициент теплопроводности, определяемый опытным путем и зависящий от агрегатного состояния вещества, температуры, давления, структуры, плотности, пористости и влажности. Знак минус указывает на то, что векторы q и grad T имеют противоположное направление.
Уравнение (1) является математическим выражением закона теплопроводности ФУРЬЕ, а значение l характеризует интенсивность процесса теплопроводности и числено равно плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Количество теплоты Qt, теряемое произвольным объемом V внутри тела, можно определить путем интегрирования плотности теплового потока q по замкнутой поверхности S, ограничивающей этот объем так, что
где - единичный вектор, направленный по нормали к поверхности; t - время.
Используя формулу Остроградского-Гаусса, получим:
. (2)
В соответствии с первым законом термодинамики это количество теплоты может появиться лишь за счет уменьшения внутренней энергии единицы объема тела в единицу времени
, а также за счет действия внутренних источников теплоты мощностью qV (Вт/м3), которые могут иметь различную физическую природу. Поэтому
(3)
где с - удельная теплоемкость тела.
Левые части выражений (2) и (3) равны, поэтому
Так как объем V выбран произвольно, равенство нулю интеграла означает, что
(4)
Перенос теплоты в твердом теле осуществляется путем теплопроводности, поэтому с учетом уравнения (1) и соотношения уравнение теплопроводности примет вид:
(5)
Уравнение (5) можно записать в виде
(6)
где а - коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость выравнивания температуры неравномерно нагретого тела (м2/с). При отсутствии внутренних источников теплоты и с учетом уравнения (*) можно получить
(6a)
Уравнения (6, 6а) выражают зависимость изменения во времени температуры в некоторой точке тела от свойств тела и производительности источников теплоты в окрестности этой точки, т.е. устанавливают связь между пространственными и временными изменениями температуры. Для получения однозначного решения уравнений (6, 6а) необходимо выполнение следующих условий, которые называют условиями однозначности.
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 575;