Замечательные пределы

Рассмотрим функцию

= . Она не определена в точке = 0, тем не менее предел её в этой точке существует и равен единице. Докажем это. Из чертежа при

0 < < ясно, что

< < (1)

где и – площади треугольников ОМВ и ОСА, а – площадь кругового сектора. Радиус окружности будем считать равным единице. Тогда, выражая площади через угол , неравенство (1) перепишем так: × < < , или

< < Þ < < . (2)

В неравенстве (2) все функции являются четными, поэтому оно верно и для отрицательных , т.е. при < < , ¹ 0. Устремляя к нулю и пользуясь теоремой о двух милиционерах, получим

= 1. (3)

Формулу (3) называют первым замечательным пределом.

Прежде, чем перейти ко второму замечательному пределу, приведем формулу бинома Ньютона

= , (4)

где = 1, = , Î N,

= 1×2×3×...× .

Формулу (4) можно доказать методом математической индукции. Мы её докажем позже другим методом.

Рассмотрим последовательность = . Используя формулу бинома Ньютона, получим

= 1 + × + + + ... +

+ = 1 + 1 + +

+ +...+ ... . (5)

Из (5) видно, что последовательность { } монотонно возрастающая, т.к. при замене n на n + 1 каждое слагаемое в (5) возрастает и добавляется еще одно положительное слагаемое.

Покажем теперь, что эта последовательность ограниченна сверху. Действительно,

< 1 + 1 + + + ... + £ 1 + 1 + + +...+ =

= 1 + = 1 + 2 – £ 3, " n Î N. (6)

(Сначала мы отбросили скобки меньшие единицы, и результат возрос. Затем учли, что ³ и воспользовались формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = ).

Итак, последовательность { } монотонно возрастает и ограниченна сверху, следовательно, имеет предел (см. Теорему 2 §2). Этот предел называют числом е.

= е. (7)

Число е является иррациональным, е = 2,718... .

Рассмотрим теперь функцию = и докажем, что она имеет предел при ® + ¥ равный е. Для любого положительного действительного числа имеет место неравенство n £ < n + 1. Для обратных величин этого неравенства получим

< £ Þ 1 + < 1 + £ 1 + .

Если левую часть последнего неравенства возвести в степень n, среднюю – в степень x, а правую – в степень n + 1 , то неравенство только усилится, т.е.

< £ . (8)

Легко убедиться, что = e, = e.

Поэтому из (8) по теореме о двух милиционерах следует, что

= e. (9)

Покажем теперь, что = e. Действительно,

= = =

= = e.

Последняя формула и формула (9) называются вторым замечательным пределом.

Можно доказать, что

1) = e, 4) = ,

2) = , 5) = 1,

3) = 1, 6) = .