Предел последовательности

Рассмотрим последовательность , , , ... . Её можно рассматривать как переменную величину = ,

n = 1,2,3, ... , функцию натурального аргумента = . Значение данной переменной величины отличается от единицы на 0,1 при n = 9, на 0,01 при n = 99, на 0,001 при

n = 999 и т.д. Очевидно, что эта переменная величина может как угодно близко приблизиться к единице. Говорят, что единица является её пределом.

Определение 1. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого числа > 0 существует такой номер , что все значения при n > удовлетворяют неравенству < .

Пишут = .

Геометрически это означает, что для любой O ( , ) найдётся такой номер , что все при n > будут принадлежать этой –окрестности. (" > 0 $ (n > Þ Î O ( , ))).

Если = C = const, то = C, т.к. = 0 < для любых n.

Чтобы найти предел последовательности, используя только его определение, следует поступить так:

1) предположить, что предел равен ;

2) решить неравенство < относительно n для любого > 0;

3) если решение неравенства имеет вид n > , то предположение, что предел равен , верно и предел найден.

Пример1. Найти предел последовательности = .

Решение. 1) Предположим, что = 1.

2) Решим неравенство < ,

< , < ,

n + 1 > , n > – 1 = .

3) Итак, для всех n > неравенство

< выполняется, поэтому =1 согласно определению предела.

Замечание. Число – 1 не для всех является натуральным, поэтому за следует взять целую часть этого числа, т.е. = Е ( – 1).

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство (от противного). Пусть предел не единственный. Выберем два предела = и = = ,

< . Выберем O ( , ) и O ( , ) так, чтобы они не имели общих точек. Для этого достаточно взять < . По определению предела $ " n > ( Î O ( , )) и $ " n > ( Î O( , )). Пусть = max ( , ), тогда " n > ( ÎO ( , ) ^ Î O( , )), что не возможно, т.к. окрестности не пересекаются. ( ^ - символ конъюнкции). Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой (пишут = ¥), если для любого значения М > 0 найдётся такой номер , что все значения при n > удовлетворяют неравенству > M.

Например, последовательности = n, = – n, =

= являются бесконечно большими.

Замечание. Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Например, последовательность 1, 0,3,0,5,0, ... является неограниченной сверху, но она не является бесконечно большой.

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся. В противном случае – расходящейся. Последовательность называется неубывающей, если £ для любого n. Если ³ , – то это невозрастающая последовательность. Невозрастающая и неубывающая последовательности называются монотонными. Если неравенства строгие ( < , > ) , то последовательности называются строго монотонными.

Теорема 2. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Доказательство. Пусть последовательность неубывающая, т.е. £ . Согласно теореме 3 §1 последовательность имеет точную верхнюю грань sup = M. По определению точной верхней грани £ M для любого n и M – < , где – некоторый член последовательности. Поскольку последовательность неубывающая, то последнее неравенство будет выполняться для всех n ³ n₀, т.е. < " n > n₀. А это означает, что M = . Доказательство аналогично для невозрастающей последовательности. Теорема доказана.

Предел функции

Пусть функция определена в окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки . Точка может быть и бесконечно удалённой.

Определение 1 (Гейне). Число называется пределом функции в точке = , если для любой сходящейся к последовательности аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пишут = , или ® при .

Если предел функции существует, то он единственный. Это следует из единственности предела последовательности.

Пример 1. Найти .

Решение. Пусть предел существует. Выберем две последовательности аргумента, сходящиеся к нулю:

= и = . Соответствующие последовательности значений функции следующие:

= =

= = 0, = = = 1,

т.е. обе последовательности являются постоянными. Поскольку пределом постоянной является сама постоянная (см. §2), то в точке = 0 мы получим два предела функции 0 и 1, чего не может быть. Следовательно наше предположение о существовании предела в точке = 0 не верно. Данная функция не имеет предела в нуле.

Определение 2 (Коши). Число называется пределом функции в точке = , если для любого > 0 существует число > 0 такое, что для всех Î O( , ) имеет место неравенство < . (" > 0 $ O ( , ) Î O( , ) Þ Î O ( , )).

Пример 2. Доказать, что = 1.

Решение. По определению Коши < , если = < . Если найдем для любого > 0 такое, что из второго неравенства будет следовать первое, то задача будет решена.

= 1 – = £ 2 × < Þ < .

Положим = , тогда для всех < выполняется неравенство < и задача решена.

Упражнение. Доказать, что = 0.

Замечание. Выше приведено два определения предела функции, однако определение должно быть единственным. Поэтому, если за определение взять формулировку Гейне, то формулировка Коши будет теоремой, и её можно доказать. И наоборот.

Определение 3. Функция называется бесконечно большой в точке = , если существует такая -окрестность этой точки, что для " Î O ( , ) > M , где М > 0 – любое действительное число. Точка может быть и бесконечно удалённой. ($ M > 0 $ > 0 ( Î O ( , ) Þ > M).

Если ® , оставаясь меньше , то предел функции в точке называется левым. Пишут = . Если ® , оставаясь больше , то предел называют правым. Пишут = . Правый и левый пределы называют односторонними пределами. Если ¹ , то функция в точке = предела не имеет, а имеет только односторонние пределы. Если = , то функция имеет в точке предел. И наоборот, если функция имеет предел в точке = , то она имеет равные между собой левый и правый пределы.