Многократные прямые измерения

Основная задача обработки многократных измерений, заключается в нахождении результата измерения ФВ и доверительного интервала, в котором находится ее истинное (действительное) значение.

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов единичных измерений x₁, x₂, ..., x_n, из которых исключе­ны известные систематические погрешности. Число измерений за­висит от требований к точности получаемого результата и от реальной возможности выполнения повторных измерений.

Последовательность обработки результатов многократных из­мерений включает в себя ряд этапов:

1) исключение из результатов измерений известных система­тических погрешностей;

2) вычисление среднего арифметического значения измеряемой величины из n единичных результатов;

3) вычисление средней квадратической погрешности единичных измерений в ряду измерений σ_x;

4) исключение промахов (грубых погрешностей измерений);

5) вычисление средней квадратической погрешности результата измерений среднего арифметического ;

6) проверку гипотезы о принадлежности результатов измере­ний нормальному закону;

7) вычисление доверительных границ случайной погрешности измерений ±ε;

8) вычисление доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерений ±θ;

9) вычисление доверительных границ погрешности результата измерений ±∆;

10) представление результата измерения в виде , где P - доверительная вероятность.

Известные систематические погрешности исключают введением в результат измерений соответствующих поправок, численно рав­ных систематическим погрешностям, но противоположным им по знаку. Поправку вводят в результаты единичных измерений, а если известно, что результаты всех единичных измере­ний имеют одинаковые систематические погрешности, ее исключа­ют из среднего арифметического значения измеряемой величины.

Среднее арифметическое значение измеряемой величины из n

единичных результатов рассчитывают по формуле

Для определения средней квадратической погрешности (СКП) еди­ничных измерений в ряду измерений используют формулу

Промахи (грубые погрешности) могут сильно исказить резуль­тат измерений, поэтому их исключение из ряда измерений обяза­тельно.

Среднюю квадратическую погрешность результата измерений (СКПр)

среднего арифметического значения σ_x вычисляют по формуле

Гипотезу о принадлежности результатов измерений нормаль­ному закону проверяют с помощью специальных критериев, если число измерений n > 50; составной критерий используют, если 15 < n < 50. При n ≤15 гипотезу о нормальном законе распределения ре­зультатов измерений не проверяют, предполагая, что вид закона распределения известен заранее. Это, как правило, нормальный закон распределения.

При заданном значении доверительной вероятности Р и числе единичных измерений n по таблицам функций определяют значения параметров.

Рассмотрим определение доверительного интервала результа­та измерений при отсутствии систематической погрешности.

Вероятность того, что истинное значение x измеряемой вели­чины находится в пределах от x_н до x_в

где q - уровень значимости.

Здесь Р называют доверительной вероятностью, а интервал от х_н до х_в - доверительным интервалом результата измерений.

Будем полагать, что значение случайной величины х подчиняется нормаль­ному закону распределения, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки и определяется из таблиц значений интегральной функции Лапласа :

где - аргумент функции Лапласа , отвечающий вероятности Р/2.

- доверительные границы погрешности результата измерений.

Полученный доверительный интервал определяется по формуле

Вычисление доверительных границ производится, как прави­ло, с доверительной вероятностью Р = 0,90; 0,95 или 0,99.

Пример. Выполнено 45 единичных измерений линейного разме­ра детали с помощью индикатора часового типа, установленного на стойке. Получены следующие исправленные результаты измерений:

= 19,95 мм, = 0,13 мм. Определить доверительный интервал результата измерений, если закон распределения - нормальный, а до­верительная вероятность Р = 0,95.

1. По формуле найдем СКП результата измерений сред­него арифметического, мм:

2. По таблице, значений функции Лапласа

Значение интеграла

определим для Р/2 = = 0,475 аргумент функции Лапласа = 1,96.

Следовательно, доверительный интервал результата измерений, в мм:

(19,95 - 0,02 ∙ 1,96) < х < (19,95 + 0,02 ∙ 1,96)

или 19,91 < х < 19,99.

При нахождении случайной погрешности с использованием функции Лапласа доверительная вероятность по формуле

характеризует вероятность того, что отдельные единичные измерения х_i не будут отклоняться от истинного значения более чем при большом числе измерений.

Однако при определении доверитель­ного интервала при многократных измерениях важнее знать отклоне­ние от истинного значения среднего арифметического значения ряда измерений. Из математической статистики известно, что если резуль­тат единичных измерений при небольшом числе измерений подчиня­ется нормальному закону, то распределение средних арифметических значений ряда измерений подчиняется закону Стьюдента с тем же средним арифметическим значением .

Особенностью распределения Стьюдента является то, что доверительный интервал с уменьшением числа измерений расширяется по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности. В связи с этим при ограниченном числе измерений, определяя доверительный интер­вал, рекомендуется использовать распределение Стьюдента.

Пример. При многократном измерении диаметра вала Ø30 h9_(-0,0052) микрометром МК25-1 получены следующие результаты:

Не учтенная систематическая по­грешность, вызванная отклонением температуры вала от нормаль­ной, θ = 2 мкм.

Определить, является ли результат х₁ = 29,94 мм промахом, найти и записать в стандартной форме результат измерений (довери­тельная вероятность P=0,95).

1. Определим среднее арифметическое значение измеряемой величины, мм:

2. Рассчитаем СКП единичных измерений, мм:

3. Так как число измерений n < 10, а закон распределения результатов единичных измерений неизвестен, промах вычислим с ис­пользованием критерия Романовского:

Для ближайшего меньшего n = 6 и q = 0,05 (при Р = 0,95) по таблице Романовского найдем = 2,10, т.е. и результат х₁ = 29,94 промахом не является.

Значения

4. Определим СКП результата измерений среднего арифмети­ческого значения, мм:

5. Для заданной вероятности Р = 0,95 и числа измерений n = 7 по таблице коэффициентов. Стьюдента ( при К=6 ) установим значение коэффициента Стьюдента t_p = 2,45.

Тогда доверительные границы случайной погрешности результата измерений, мм:

6. Результат измерений запишем в виде А = 29,964 ± 0,014, P=0,95.

Однократные измерения

Большинство технических измерений являются однократны­ми. В производственных условиях их точность может быть вполне приемлемой. При однократных измерениях процедура измерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точности средств измерений и условиях измерения погрешность не превзошла определенное значение, т.е. значения D и Р заданы исходно. Так как такие измерения выполняют без повторе­ний, то нельзя отделить случайные погрешности, от систематиче­ских. Для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом воз­можных влияющих величин.

Однократные измерения возможны при следующих условиях:

- объем априорной информации об объекте измерений такой, что однократные измерения не вызывают сомнений;

-изучен метод измерения, его погрешности либо заранее ус­транены, либо оценены;

- метрологические характеристики средств измерений соот­ветствуют установленным нормам.

При однократных измерениях возможно образование инстру­ментальной, методической и субъективной погрешностей. Если по­следние погрешности две не превышают 15% погрешности средства измерений, тогда погрешность измерения принимают равной погреш­ности используемого средства измерений

Однократный отсчет показаний может тоже содержать промах. Во избежание промаха при выполнении однократных измерений рекомендуется повторять из­мерения 2-3 раза, приняв за результат среднее арифметическое.

В про­стейшем случае, если влияющие величины соответствуют нормаль­ной области значений, погрешность результата прямого однократ­ного измерения равна основной погрешности средства измерений Δ, определяемой по нормативно-технической документации. Тогда результат измерения записывают в виде

А = Хси ± Δси , Р,

где Хси - результат (среднее арифметическое значение из 2-3 единичных измерений), зафиксированный средством измерений.

Доверительная вероятность Р, как правило, составляет 0,95. При проведении измерений в условиях, отличных от нормаль­ных, необходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей, вызванных имеющимися отличиями.

Пример. Произведены измерения длины L = 50 ± 0,3 мм стержня штангенциркулем ШЦ-П, основная погрешность которого составля­ет Δси = ± 0,05 мм. Получены следующие результаты: Х₁ = 50,10 мм; Х₂ = 50,20 мм; Х₃ = 50,15 мм. Записать окончательный результат из­мерений в стандартной форме.

Среднее арифметическое измеряемого размера.

Результат измерения запишем в виде

А = 50,15 ± 0,05 ; 0,95.

При неизвестной же погрешности средства измерения оценка производится на основе СКО

Пример... При измерении размера вала Ø55u8( ) получены следующие результаты, мм:

х₁=55,01; х₂=55,13; х₃=55,12; х₄=55,12; х₅=55,12.

Провести точную оценку результатов измерений:

Таким образом, результат измерений

Если же, ввести доверительную вероятность Р= 0,95 то можно определить и доверительный интервал.