Апериодическое (инерционное) звено
Апериодическое звено имеет передаточную функцию
, (4.25)
где k – передаточный коэффициент, T – постоянная времени.
Уравнение апериодического звена получим из (4.1) при
(4.26)
где
В качестве примера апериодического звена рассмотрим RC – цепочку (рис. 4.6). Входная величина RC–цепочки – напряжение U1, выходная – напряжение U2. По второму закону Кирхгофа
(4.27)
где
Выразим ток через напряжение на конденсаторе:
. (4.28)
Если исключить промежуточные переменные i и UR, то уравнение (4.27) примет вид
(4.29)
который совпадает с (4.26) при k=1 и T=RC.
Запишем дифференциальное уравнение апериодического звена (4.26) в виде
(4.30)
Решим уравнение (4.30) методом интегрирующего множителя, задав начальное условие и полагая, что входное воздействие произвольная функция времени. Умножим правую и левую части уравнения (4.30) на вспомогательную функцию
(4.31)
Подберем функцию таким образом, чтобы в левой части уравнения (4.31) получилась производная от произведения
Для этого должно выполняться условие
(4.32)
Решим уравнение (4.32) как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
(4.33)
Подставив решение (4.33) в уравнение (4.31) и сократив последнее на получим:
(4.34)
С учетом начального условия окончательно получим решение в виде
(4.35)
где t’ - переменная интегрирования.
Это полное решение уравнения (4.30) при произвольном воздействии. В нем можно выделить две составляющие: первая, зависящая от начального условия, является свободной составляющей; вторая носит название вынужденной составляющей. Используем решение (4.35) для получения переходной и весовой функций.
Характеристики звена:
а) Переходную функцию определяем при нулевом начальном условии и входном воздействии
(4.36)
б) Прежде, чем найти весовую функцию, остановимся на одном важном свойстве функции, которое называют фильтрующим. Рассмотрим интеграл от произведения функции на гладкую функцию :
(4.37)
Функция Примем, что импульс появляется в момент времени а заканчивается в момент времени где - бесконечно малая величина. С учётом этого запишем интеграл (4.37) как сумму трёх интегралов:
(4.38)
Первый и третий интегралы в выражении (4.38) равны нулю в силу условия а во втором интеграле :
(4.39)
Таким образом, получим, что интеграл от произведения гладкой функции на функцию равен значению функции в момент времени существования функции. Множитель в выражении (4.39) отражает зависимость интеграла от времени.
Весовую функцию апериодического звена ищем при нулевом начальном условии и входном воздействии При подстановке входного воздействия в решение (4.35) запишем его в виде :
(4.40)
Применим к решению (4.40) фильтрующее свойство функции:
(4.41)
Сравнивая выражение (4.41) с общим решением дифференциального уравнения апериодического звена (4.35), запишем последнее в виде:
(4.42)
Интеграл вида (4.42) называется интегралом свертки функций и Графики переходной и весовой функций апериодического звена приведены на рис. 4.7.
г) Частотные характеристики апериодического звена могут быть получены из выражения для частотной передаточной функции
(4.43)
где
АФХ апериодического звена при изменении частоты w от 0 до представляет собой полуокружность, диаметр которой равен передаточному коэффициенту k (рис. 4.8). При частотах выходная величина отстаёт от входной на 900.
д) Уравнение ЛАХ: (4.44)
Сравнивая выражение (4.44) с уравнением ЛАХ дифференцирующего звена 1-ого порядка (4.15), можно сделать вывод, что ЛАХ апериодического звена есть зеркальное отображение ЛАХ дифференцирующего звена 1–ого порядка относительно горизонтальной асимптоты ЛФХ апериодического звена есть зеркальное отображение ЛФХ дифференцирующего звена 1 – ого порядка относительного оси частот.
На рис. 4.9 приведены графики ЛАХ и ЛФХ апериодического звена для случая k=10 в зависимости от нормированной частоты где сопрягающая частота.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 133;