Равномерная непрерывность функций

В определении непрерывности функции в точке зависит, вообще говоря, не только от , но и от точки, т.е. Такая ситуация имеет место в случае произвольной функции , т.е. в общем случае. Если же наложить на функцию некоторые условия, о которых речь пойдет дальше, то и от точки не зависит. В этом случае мы получаем равномерно непрерывную на промежутке функцию.

Определение 1. Функция , заданная на некотором промежутке Х, называется равномерно непрерывной на этом промежутке, если для любого найдется такое , что неравенство выполняется для любой пары точек , удовлетворяющих неравенству .

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке , то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, основатель современной теории множеств.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что непрерывна на отрезке ,

но не является на нем равномерно непрерывной. Это значит, что существует такое, что при любом можно подобрать пару точек , таких, что и .

Возьмем последовательность значений , сходящуюся к нулю: .

Для найдутся такие точки , что , но .

Для найдутся такие точки , что , но .

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

Для найдутся такие точки , что , но .

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

В результате из отрезка выделятся две ограниченные последовательности

, (20.1)

. (20.2)

Из последовательности (20.1) по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не вводить новых обозначений, будем считать, что уже сама последовательность (20.1) сходится к некоторой точке . Покажем, что тогда последовательность (20.2) тоже сходится к . Действительно, поскольку ,имеем при .

По условию непрерывна в точке . Следовательно, , поэтому , а это противоречит тому, что >0 для всех значений n. Полученное противоречие доказывает теорему.

Установим теперь факт, который будет нам нужен в интегральном исчислении.

Определение 2. Если функция определена и ограничена на отрезке , то разность между ее точными границами на этом отрезке называется колебанием функции на , т.е. колебание , где , .

Следствие из теоремы Кантора. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то по заданному можно разбить этот отрезок на конечное число частей так, что на каждой из частей колебание функции не будет превышать .

Доказательство. По теореме Кантора функция равномерно непрерывна на . Поэтому по заданному найдется такое, что для любых точек , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Если отрезок разбить на такие части, чтобы длина каждой из них была меньше , то на каждой из отдельно взятых частей разность значений функции в любых двух точках по абсолютной величине будет меньше . В частности, это справедливо и для разности между наибольшим и наименьшим значениями функции на каждой из частей, которая и составляет колебание непрерывной функции на этой части. Следствие доказано.