Модели в механике. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения

Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является матери­альная точка— тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче мож­но пренебречь. Понятие материальной точ­ки — абстрактное, но его введение облег­чает решение практических задач. Напри­мер, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за мате­риальные точки.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между со­бой части, каждая из которых рассматри­вается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы матери­альных точек.В механике сначала изуча­ют движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изме­нять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твер­дым теломназывается тело, которое ни при каких условиях не может деформиро­ваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между

двумя частицами) этого тела остается по­стоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступатель­ного и вращательного движений. Поступа­тельное движение— это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллель­ной своему первоначальному положению. Вращательное движение —это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Движение тел происходит в простран­стве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.

Положение материальной точки опре­деляется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета.С ним связы­вается система отсчета— совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент вре­мени по отношению к этой системе ха­рактеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором r, проведен­ным из начала системы координат в дан­ную точку (рис. 1).

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяют­ся. В общем случае ее движение определя­ется скалярными уравнениями

эквивалентными векторному уравнению

r = r(t). (1.2)

Уравнения (1.1) (соответственно (1.2)) называются кинематическими уравнения­ми движения материальной точки.

Число независимых координат, полно­стью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степе­ней свободы.Если материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z); если она движется по некоторой поверхно­сти, то — двумя степенями свободы, ес­ли — вдоль некоторой линии, то — одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траектории движения материальной точки. Траекто­риядвижения материальной точки — ли­ния, описываемая этой точкой в простран­стве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2). Отсчет времени начнем с момен­та, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, прой­денного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется дли­ной путиAs и является скалярной фун­кцией времени: Ds = Ds(t). Вектор Dr=r-r₀, проведенный из начального положе­ния движущейся точки в положение ее в. данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматривае­мый промежуток времени), называется пе­ремещением.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствую­щим участком траектории и модуль пе­ремещения |Dr| равен пройденному пу­ти Ds.

Скорость

Для характеристики движения материаль­ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответ­ствует радиус-вектор r₀ (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка прой­дет путь As и получит элементарное (бес­конечно малое) перемещение Dr.

Вектором средней скорости <v> назы­вается отношение приращения Dr радиуса-вектора точки к промежутку времени Dt:

Направление вектора средней скоро­сти совпадает с направлением Dr. При неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значе­нию, которое называется мгновенной ско­ростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель­ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скоро­сти равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движениимодуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней ско­ростьюнеравномерного движения:

Если выражение ds = vdt(см. форму­лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt:

В случае равномерного движениячисло­вое значение мгновенной скорости посто­янно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁до t₂, дается интегралом