НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ

1) монотонные функции;

2) ограниченные и неограниченные функции;

3) чётные и нечётные функции;

4) периодические функции.

1) монотонные функции:

Определение 1. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых из условия следует .

Определение 2. Функция называется убывающей на множестве , если для любых из условия следует .

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Определение 3. Функция называется неубывающей на множестве , если для любых из условия следует .

Определение 4. Функция называется невозрастающей на множестве , если для любых из условия следует .

Функции всех четырёх классов называются монотонными.

Определение 5. Функция называется кусочно-монотонной, если её область определения можно разбить на конечное множество промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

Примеры: ,

2) ограниченные и неограниченные функции:

Определение 1. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если множество является ограниченным сверху, то есть .

Определение 2. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если множество является ограниченным снизу, то есть .

Определение 3. Функция называется ограниченной на множестве , если множество ограничено, то есть .

В противном случае функция называется неограниченной.

3) чётные и нечётные функции:

Определение 1. Функция называется чётной, если:

1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то ;

2) .

Определение 2. Функция называется нечётной, если:

1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то ;

2) .

4) периодические функции:

Определение. Функция называется периодической с периодом , если:

1) ;

2) .

Если – период функции , то для любого - тоже период. Наибольшего периода не существует. Но не всякая функция имеет наименьший положительный период.

Пример:

Функция Дирихле не имеет наименьшего положительного периода, так как , отсюда любое есть период функции , но наименьшего положительного рационального числа не существует.