БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.
Пример:
Последовательность имеет вид:
Покажем, что .
Зафиксируем и найдём N, такое, что из условия следует , отсюда и . Таким образом, и последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
Пусть и – бесконечно малые последовательности. Тогда
,
.
Выбираем . Тогда для любого справедливы неравенства
, т.е.
. (3)
Так как взято произвольным, из неравенства (3) следует, что . Таким образом, последовательность является бесконечно малой.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство:
Пусть – ограниченная последовательность. Тогда
(4)
Пусть – бесконечно малая последовательность. Тогда
(5)
Из условий (4) и (5) следует, что
для любого при условии . Отсюда , т.е. последовательность бесконечно малая.
Пример:
- бесконечно малая последовательность;
- ограниченная последовательность, так как .
Отсюда - бесконечно малая последовательность и .
Теорема 3. Для того чтобы число a было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы могло быть представлено в виде , где – бесконечно малая последовательность, т.е. при .
Доказательство:
1) Необходимость.
.
Обозначим и получим
.
Тогда , отсюда – бесконечно малая последовательность и .
2) Достаточность.
Пусть и . Тогда
.
Так как , получаем . Следовательно, .
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 100;