Прямоугольная пластина

Тонкая прямоугольная пластина имеет размеры L и H и массу М. Оси Ох и Оу расположены в плоскости пластины (рис. 2.8), тогда для всех точек . Формулы для вычисления и (2.10) принимают вид

. (2.16)

Рис. 2.8

Для вычисления разобьем пластину на элементарные полосы шириной dy и массой и проинтегрируем по у от 0 до H:

здесь .

Момент инерции вычислим по аналогии:

Для определения момента инерции пластины относительно оси Оz, воспользуемся формулой (2.10)

Здесь A - площадь прямоугольной пластины.

Итак, для моментов инерции пластины относительно осей координат получены формулы

(2.17)

Упомянем свойство, которое полезно при нахождении моментов инерции плоских тел. Оно состоит в следующем. Если есть плоская фигура и оси координат x и y расположены на этой плоскости, а ось z направлена перпендикулярно к ней, то моменты инерции этой фигуры равны

Доказать это просто, поскольку все =0.

Круглый диск

Имеем тонкий однородный диск радиусом R и массой М (рис. 2.9, а). Вычислим момент его инерции относительно точки О. Этот момент инерции совпадает с моментом инерции относительно координатной оси Оz, перпендикулярной плоскости диска (рис. 2.9, a). Действительно, согласно (2.10),

поскольку , следовательно, .

Разобьем диск на концентрические полосы шириной dr (рис. 2.9, б). За элемент массы dm возьмем массу кольца толщиной dr. Такой выбор элемента массы объясняется тем, что расстояния от всех точек до центра диска одинаковы и равны r (радиальная симметрия). Элемент массы dm равен ее площади , умноженной на плотность (А - площадь диска).

Рис. 2.9

Тогда

Для всего диска

Таким образом,

. (2.18)

Для осей Ох и Оу, расположенных в плоскости диска, в силу симметрии . Используя формулу (2.11), имеем , но , поэтому J₀ =2J_x , тогда J_x=J_y= J₀ , т.е.