Дисперсия случайной величины.

Определение. Дисперсия Dxслучайной величины x — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Dx = M(x – Mx)² =

Отметим , что и Dx— математический оператор.

Выведем удобную для вычислений формулу дисперсии:

Dx =

= .

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания. Проще, дисперсия случайной величины равна «среднему квадрату минус квадрат среднего».

Задача 5. Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

x
pi

и вычислим её дисперсию.

Составим закон распределения случайной величины x²

x2
pi

Вычислим Mx²

Mx² = 1× + 4× + 9× = .

Вычислим Mx

Mx = 1× + 2× + 3× = .

Следовательно, Dx =

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Дисперсия случайной величины всегда неотрицательна и равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа.

Свойства дисперсии.

1. Если с – число, то D(x + с) = D(x).

2. Если k – число, то D(kx) = k² Dx. Докажем

D(kx) = M(kx – M(kx))² = M(kx – k Mx)² = M(k² (x – Mx)²) = k²M(x – Mx)² = k² Dx.

3. Для двух независимых случайных величин x и h справедливо равенство

D(x + h) = Dx + Dh.

Это свойство проверим на примере.

Задача 6. Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

Покажем, что D(x + h) = Dx + Dh.

Вычислим дисперсии x и h по ранее изложенному алгоритму:

Следовательно, Dx + Dh = 3/16 + 21/100 = 159/400.

Построим закон распределения для случайной величины x + h:

M(x+h)² = 184/40, M(x+h) = 82/40. Следовательно, D(x+h) = 23/5 - (41/20)² = 159/400.

Отметим, дисперсия даёт несколько искажённое представление о самой величине отклонений, измеряя их в квадратных единицах.