Смешанное произведение трёх векторов

Пусть даны векторы и не лежащие на одной плоскости. Вектор векторно умножим на вектор и полученный результат скалярно умножим на вектор получим число

Это число называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов Обозначение:

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведения:

.

2. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей:

.

4. Смешанное произведение векторов и равно нулю в том и только в том случае, когда эти векторы компланарны.

5.Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах . Знак произведения будет положительным, если векторы образуют правую тройку векторов, знак будет отрицательным, если тройка векторов левая.

Или

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, вычисляется по формуле

6. Условие компланарности трех векторов , , можно записать в виде: