Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве задана некоторая ось ОХ и точка .

Проекцией точки на ось ОХ называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось(Рис.21).

О Х О Х

Проекцией вектора на ось ОХ называется длина отрезка , заключенного между проекциями начальной и конечной точек вектора, взятая со знаком «+», если вектор и ось одинаково направлены и со знаком «-», если их направления противоположные

Обозначение: .

Углом между вектором и осью ОХ называется угол между осью ОХ и вектором .

Теорема.Проекция вектора на ось ОХ равна произведению дины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

Пусть в пространстве даны точки и , - углы которые образует вектор АВ с положительными направлениями осей координат ОХ, ОУ, ОZ.

Тогда проекции вектора на оси координат определяются по формулам:

Из рисунка видно, что:

О Х

Аналогично найдем:

Обозначим

Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора .

Т.е координаты вектора вычисляются по формуле:

Найдем длину вектора. Для этого рассмотрим произвольный вектор , начало которого проложено в начале координат, а конец этого вектора совпадает в точкой А т.е. . Спроектируем вектор на оси координат и введем обозначения:

Z

О y

x

Вектор является диагональю параллелепипеда, следовательно модуль этого вектора будет равен:

,

или

Пусть Х, У, Z координаты вектора , то в дальнейшем этот факт будем записывать в виде .

Если вектор задан координатами точек, обозначающие начало и конец вектора, т.е. и , то его координаты обозначаются в виде (4.4) и его модуль определится по фоомуле;

Пример. Найти координаты и модуль вектора , если .

Решение. Используя формулу (4.4) находим координаты вектора:

Теперь находим модуль этого вектора по формуле (4.6):

По определению координат вектора имеем:

где углы, которые составляет вектор с осями координат.

Тогда получим:

,

называются направляющими косинусами вектора .

Откуда легко получить:

Равенство называется основным свойством направляющих косинусов.

Пример. Радиус вектор точки М составляет с осью ОУ угол , с осью OZ угол , его длина равна 8. Найти координаты точки М, если её абсцисса отрицательна.

Решение. Пусть , т.е. . Находим координаты х, у и z из соотношений (4.8), предварительно найдя из основного свойства направляющих косинусов (4.10):

,

или .

Так как по условию абсцисса отрицательна, значит .

Координаты х, у и z будут равны:

,

,

.

Т.е. точка М имеет координаты .