Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Пусть по тонкому прямолинейному проводнику течет ток . Правая система декартовых координат построена так, что проводник совпадает с осью аппликат. Точка наблюдения М (точка пространства, в которой рассчитываем компоненты вектора магнитной индукции) лежит на оси абсцисс на расстоянии от начала координат. Начало отрезка проводника описывается значением аппликаты , а конец проводника – значением аппликаты (рис.1). В рассматриваемом случае составляющие радиус-вектора точки наблюдения, радиус-вектора точки расположения элемента контура с током и собственно элемента контура с током имеют вид:

, , .(1) Составляющие разности рассматриваемых радиус-векторов имеют вид:

, (2)

а модуль выражения (2) можно записать в форме:

. (3)

С помощью выражения (1) предыдущего раздела вычисляем дифференциалы компонент вектора магнитной индукции в точке наблюдения M(x,0,0), принимая во внимание соотношения (1)-(3):

, (4)

Заметим, что если элемент проводника с током и точка наблюдения М лежат в плоскости рисунка 1, то вектор в соответствии с зависимостью (1) предыдущего раздела перпендикулярен рассматриваемой плоскости и направлен «от нас».

Из соотношений (4) следует, что вектор магнитной индукции имеет единственную отличную от нуля проекцию на ось ординат:

. (5)

Значение составляющей вектора магнитной индукции определяется квадратурой

(6)

В соответствии с принципом суперпозиции (соотношение (3) предыдущего раздела) в выражении (6) просуммирован вклад в формирование магнитного поля всех элементарных отрезков проводника с током. Вычисление квадратуры (6) производится с помощью замены переменной . Приведём соответствующие выкладки:

, , .

Очевидно, что интегрирование выражения (6) приводит к результату:

(7)

где

(8)

углы и показаны на рис. 1, положительное направление отсчёта углов – по часовой стрелке относительно точки наблюдения.

Легко видеть, что для проводника с током, концы которого бесконечно удалены от начала координат ( , величина магнитной индукции в точке наблюдения равна:

(9)

Если тонкий проводник имеет достаточно малую протяженность ( , где - достаточно малая положительная величина), то величина стремится к нулю. Это свойство вектора магнитной индукции может оказаться полезным при проведении практических (приближенных) расчётов.