Теорема Гаусса для вектора.

В диэлектрической среде могут присутствовать электрические заряды двух типов: “свободные” и “связанные”. Первые из них не связаны с молекулярной структурой вещества и, как правило, могут относительно свободно перемещаться в пространстве. Вторые связаны с молекулярной структурой вещества и под действием электрического поля могут смещаться из положения равновесия, как правило, на очень малые расстояния.

Использование напрямую теоремы Гаусса для векторного поля при описании диэлектрической среды неудобно тем, что правая часть формулы

(1)

содержит как величину “свободного” , так и величину “связанного” (некомпенсированного) зарядов внутри замкнутой поверхности .

Если соотношение (1) почленно сложить с соотношением (1) предыдущего раздела, получим

, (2)

где - суммарный “свободный” заряд объема, охватываемого замкнутой поверхностью . Соотношение (2) обуславливает целесообразность введения специального вектора

(3)

в качестве удобной расчетной величины, характеризующей электрическое поле в диэлектрической среде. Вектор раньше называли вектором электрической индукции или вектором электрического смещения. В настоящее время входит в употребление термин «вектор ».

Для векторного поля справедлива интегральная форма теоремы Гаусса:

(4)

и, соответственно, дифференциальная форма теоремы Гаусса:

(5)

где - объемная плотность свободных электрических зарядов.

Если справедливо соотношение (7) из раздела 4.3 (для жестких диэлектриков - электретов - оно не справедливо), то для вектора из определения (3) следует

, (6)

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды, одна из важнейших электрических характеристик вещества. В электростатике и квазистационарной электродинамике величина является действительной. При рассмотрении высокочастотных колебательных процессов фаза колебания вектора , а значит и вектора , может не совпадать с фазой колебаний вектора , в таких случаях величина становится комплексной величиной. Относительная диэлектрическая проницаемость среды , как и диэлектрическая восприимчивость , является безразмерной величиной. Размерность вектора можно установить по второму слагаемому правой части определения (3): .

Иногда в учебной литературе при обсуждении физического содержания понятия «вектор » можно встретить утверждение, что этот вектор не имеет физического смысла, что в зависимости (3) искусственно складываются разнородные физические величины. Это утверждение можно оспорить следующим образом. Пусть в начале координат помещён точечный электрический заряд . Электростатическое поле этого заряда должно складываться с полем связанных электрических зарядов диэлектрической среды, в результате чего получаем зависимость:

,

где - объём шара радиуса . В правой части определения (3) вектора фактически складываются электрический момент стороннего заряда , делённый на объём шара радиуса (т.е. величина, рассчитанная на единицу объёма), с коэффициентом влияния и суммарный электрический момент связанных зарядов в окрестности точки наблюдения, рассчитанный тоже на единицу объёма. Можно утверждать, что в правой части определения (3) складываются величины одного физического содержания.

Рассмотрим вопрос, при каких условиях в диэлектрической среде возможно появление некомпенсированной объемной плотности связанных зарядов. Для этой цели запишем выражение вектора поляризации через диэлектрическую проницаемость среды и вектор :

(7)

в справедливости которого легко убедиться с помощью соотношения (7) раздела 4.3 и соотношения (6) настоящего раздела. Теперь представляющая интерес величина может быть вычислена:

(8)

В отсутствие в диэлектрической среде объемной плотности свободных зарядов величина может обратиться в нуль, если

а) отсутствует поле ;

или

б) среда однородна

или

в) векторы и - ортогональны.

В общем случае необходимо вычислять величину по соотношению

, (9)

или в «развёрнутой форме» по соотношению (8).