Операторные методы в теории автоматического регулирования

Основные понятия теории автоматического регулирования

1. Управление каким-либо процессом заключается в целенаправленном воздействии на этот процесс с тем, чтобы обеспечить его протекание в соответствии с заданными характеристиками. Если управление происходит без участия человека, то оно называется автоматическим, а система управления – автоматической (САУ).

В общем виде САУ состоит из регулятора (Р) и объекта управления (О), (рис.1).

Как показано на рис.1, на вход регулятора, помимо задающего воздействия Х, по контуру обратной связи поступает информация о текущем состоянии объекта в виде выходной величины Y. Регулятор перерабатывает полученную информацию по определенному заложенному в ней алгоритму. В результате на его выходе формируется управляющее воздействие Z. Управляющее воздействие Z приложено к объекту, который находится под действием возмущения F.

Если в результате управления должен поддерживаться неизменным выходной параметр Y, а управляющее воздействие Х отсутствует, то такая система называется системой автоматического регулирования (САР). Например, удержание судна на постоянном курсе является автоматическим регулированием.

Существуют два принципа регулирования:

- регулирование по отклонениям;

- регулирование по возмущениям.

При регулировании по отклонениям регулятор сравнивает через обратную связь фактическое и заданное значение регулируемой величины Y_З Принципиальная схема регулирования по отклонениям показана на рис.1 при ОС = Y_З

При регулировании по возмущениям вход регулятора связан с возмущающим воздействием. Регулятор вырабатывает регулирующее воздействие с учетом измеренного возмущения. Схема такого регулирования показана на рис. 2.

В судовождении преимущественно нашли применение системы только с обратной связью (т.е. регулирование по отклонениям). Объясняется это трудностями непосредственного измерения внешних возмущающих воздействий (например, волнение, ветер и т.п.).

2. Системы автоматического регулирования классифицируются по различным признакам. Основными здесь являются вид закона управления и характер внутреннего динамического процесса в системе.

Законом управления называется взаимосвязь между регулирующим и задающим воздействием системы.

По виду закона управления можно выделить четыре типа автоматических систем.

1. Система стабилизации, в которых независимо от возмущающих воздействий значение регулируемой величины Y поддерживается постоянным. Примером такой системы может служить система стабилизации судна на курсе с помощью авторулевого.

2. Следящие системы, в которых выходная величина воспроизводит входную, изменяющуюся по произвольному и неизвестному закону. Примером данной системы является следящая система гирокомпасов, служащая для дистанционной передачи угла курса на репитеры.

3. Системы программного регулирования, в которых задающее воздействие Х изменяется по заранее заданному закону. В практике судовождения такая система была реализована в навигационном комплексе «Дата бридж» (фирма «Норконтрол», Норвегия), в котором задается программа плавания в пределах 15 точек изменения курса и скорости судна.

4. Самонастраивающиеся системы, имеющие два подкласса:

а) система с самонастройкой параметров;

б) система с самонастраивающейся структурой.

В системах с самонастройкой параметров осуществляется автоматический выбор коэффициентов передач звеньев системы в зависимости от характера возмущающих воздействий. Например, современные авторулевые так называемого адаптивного типа, (польский TS, шведский ASAP, немецкий фирмы Аншюц) не требует вмешательства судоводителя для настройки. Авторулевые перестраиваются самостоятельно и в зависимости от числа перекладок руля (TS), глубины под килем продольной скорости и волнения моря (ASAP). Системы с самонастраивающейся структурой в настоящее время в практике судовождения не применяются, но в связи с внедрением универсальных судовых ЭВМ являются весьма перспективными.

По характеру внутреннего динамического процесса САР подразделяются на непрерывные, дискретные, релейные, линейные и нелинейные системы. В принципе абсолютное большинство САР являются нелинейными системами, но в целях упрощения синтеза и анализа таких систем, они линеаризируются в окрестностях рабочих точек характеристик нелинейных элементов. Линеаризация осуществляется разложением в ряд нелинейной характеристики графическим и аналитическим способами.

3. В работе любой САР различают два режима: переходный и установившийся.

При каждом изменении входного воздействия изменяется и регулируемая величина. При этом система переходит из одного установившегося состояния в другое. Этот процесс называется переходным процессом. По окончании переходного процесса наступает установившийся режим.

Качество переходного процесса определяется следующими величинами:

а) длительностью переходного процесса (время затухания);

б) величиной перерегулирования (динамическая ошибка) и статической ошибкой;

в) формой процесса (количество перерегулирований).

Как правило, при исследовании системы оценка качества производится по ее реакции на единичную функцию входного сигнала. Единичная функция характеризует воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным (рис.3).

Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t) и может быть описано следующим равенством:

1(t) = 0 при t < t₀

1(t) = 1 при t ≥ t₀

(t₀ может принимать и нулевые значения).

Реакция системы на это возмущение называется переходной функцией h(t). Значение переходной функции h(t) при t → ∞ характеризует установившуюся реакцию системы, причем величина:

Δ_СТ= h(∞) - 1

называется статической ошибкой системы. Если Δ_СТ = 0, то такую систему называют астатической.

В переходном процессе система обладает динамической ошибкой Δ_Д, которая характеризуется переменной величиной, имеющей максимумы в точках перерегулирования.

Окончанием переходного процесса считается момент времени, когда любое изменение переходной функции не превышает 5% от установившегося значения. Количество перерегулирований зависит от времени затухания и величины периода колебаний. Обычно приемлемым числом колебаний в САУ считается 1 -2.

В качестве примера использования этих характеристик рассмотрим работу рулевого привода. Быстрый поворот штурвала на один оборот можно считать единичной ступенчатой функцией входного сигнала.

Под действием этого сигнала рулевая машина начинает поворачивать перо руля на заданный угол. Время отработки – это время переходного процесса рулевого привода, в течение которого может происходить перерегулирование с небольшой динамической ошибкой. После окончания переходного процесса перо руля устанавливается на нужный угол с некоторой статической ошибкой.

Иногда автоматические системы испытывают при других входных воздействий: единичном импульсе и гармоническом входном сигнале. Единичный импульс, который называется дельта – функцией, характеризует мгновенное нарастание единичного ступенчатого воздействия в точке t₀ (рис.5):

→ ∞

В моменты времени t ≠ t₀ функция Реакция системы на единичный импульс носит наименование функции веса (или весовая функция) .

Реакцию системы на гармонические возмущения подробно рассмотрим в следующей лекции

Операторные методы в теории автоматического регулирования

План лекции –

1. Цели и сущность операторных методов.

2. Преобразования Лапласа для временных функций

3. Передаточная функция

Литература: [1], [2], [3].

1. Целью рассмотрения системы автоматического регулирования может быть решение одной из двух задач – задачи анализа системы или задача ее синтеза.

В первом случае исследуется система с заданными значениями параметров, и требуется определить ее свойства. Во втором случае, наоборот, задаются свойства, которыми должна обладать система, т.е. требования к ней, и необходимо создать структуру системы, удовлетворяющую этим требованиям. В самом общем виде порядок исследования САУ в обоих случаях включает математическое описание системы или математической модели. Математические модели системы представляют собой уравнения динамики, записанные в виде дифференциальных уравнений различных порядков. В общем случае дифференциальное уравнение автоматической системы имеет вид:

где все коэффициенты – величины постоянные.

С целью упрощения методов расчета САУ уравнения динамики записывают не через оригиналы функций, а в виде изображений функций (операторов), полученных с помощью прямого преобразования Лапласа. Этот метод заключается в том, что с одной стороны, изменяется форма записи дифференциальных уравнений (они становятся алгебраическими), а с другой – функция времени заменяется, или как говорят, изображается функцией комплексного аргумента . Принцип перехода от оригиналов каких-либо функций к ее изображениям не является новым и широко используется не только в теории автоматического регулирования. Например, с понятием изображения сталкиваются, когда изучают логарифмы. Так, если число 3,5 нужно возвести в степень 2,5, то находят логарифмы числа 3,5 и умножают его на 2,5. Полученный логарифм переводят в число, которое и будет ответом на поставленный вопрос. Таким образом, схема возведения числа в степень имеет вид:

число ® его изображение (логарифмы) ® действие над этим изображением (умножение, деление) ® число (оригинал) ® ответ.

Схема решения дифференциального уравнения операторным методом ничем не отличается от только что приведенной схемы для возведения в степень числа, только здесь изображаются не числа, а функции времени.

2. Соответствие между изображением F(p) и функцией времени (оригиналом) f(t) обозначается символом преобразования L (прямое преобразование) или L^-1 (обратное преобразование): F(p)=L[f(t)] или
f(t)=L^-1[F(p)].

Формально изображение F(p) находится через оригинал с помощью интегрального преобразования Лапласа:

Например, найти изображение постоянной y(t)=A. Тогда в соответствии с (2), получим.

F(p)=L[A]= e^-ptf(t)dt = – = – (2)

Составлены таблицы прямых и обратных преобразований оригиналов в изображения и наоборот.

Таблица 1

№п/п	Оригинал f(t)	Изображение по Лапласу F(p)

Здесь значение функции при .

Преобразование Лапласа имеет ряд важных свойств:

а) Преобразование Лапласа является линейным. Если , где , то

.

Изображение суммы оригиналов равно сумме изображений. Если и , то

.

б) Теорема о предельном значении. Если имеет предел при , то это предельное значение может быть найдено по формуле

(3)

Приведем пример использования операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений.

Пример. Найти решение уравнения

при и

Находим изображения членов исходного уравнения, воспользовавшись табл.1.

,

откуда

.

Далее переходя к оригиналам, получим решение:

.

3. Операторный метод дает удобный способ анализа линейных устройств и систем с помощью их передаточных функций.

Передаточной функцией системы называется отношение выходной величины системы к входной, записанное в операторной форме при нулевых начальных условиях. Если динамика системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

то определив изображение по Лапласу правой и левой части уравнения при нулевых начальных условиях:

,

получим следующую передаточную функцию системы:

(4)

Если выходной, а входной сигнал автоматической системы, то функции показывает в операторной форме, какое преобразование производит система над входным воздействием , с тем, чтобы на ее выходе получалась величина .