Момент количества движения и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения L_i отдельной частицы тела массой m, называется произведение расстояния r, от оси вращения до частицы на количество движения m_iv_i) этой частицы:

. (19.1)

Момент количества движения твердого тела относительно оси есть сумма моментов количества движения отдельных частиц

Так как для вращательного движения , то

т.е.

(19.2)

Таким образом, момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент количества движения твердого тела — это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть с его конца вращение, происходящим по часовой стрелке (рис. 27).

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

или в векторной форме (19.3)

Уравнение (19.3) — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

Если мы имеем дело с замкнутой системой, то момент внешних сил М = 0 и, или, т. е.

. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента количества движения: момент количества движения замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента количества движения — фундаментальный закон природы. Он связан с определенным свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. С инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать сохранение момента количества движения можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровни плеч руках гири (рис. 28), приведен во вращение с угловой скоростью w₁. Человек обладает некоторым моментом количества движения, который сохраняется. Если он опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость w₂ его вращения. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение, подчеркнув их аналогию (табл. 2).

Таблица 2

Поступательное движение	Вращательное движение
масса m	момент инерции J
путь s	угол поворота j
скорость	угловая скорость
импульс p=mv	момент импульса L=Jw
ускорение	угловое ускорение
равнодействующая внешних сил F	сумма моментов внешних сил M
основное уравнение динамики	основное уравнение динамики M=Je=
работа F ds	работа вращения Mdj
кинетическая энергия mv²/2	кинетическая энергия вращения Jw²/2