Метод проекции вектор-градиента
Метод разработан для решения задач с ограничениями типа равенств:
где .
Поиск условного минимума происходит парами шагов. Первый шаг в каждой паре производится в том случае, если нарушены ограничения ψj (X)=0.Точного выполнения ограничений практически добиться нельзя, поэтому считают, что они нарушены. Если ψj (X) ≥ Δψj, где Δψj – предельно допустимое отклонение ограничений от нуля.
Первый шаг заключается в перемещении отображающей точки на гиперповерхность ограничений, т.е. в спуске на гиперповерхность ограничений. Такое перемещение производится из текущей точки Xk по направлению нормали к гиперповерхности ограничений. Вектор приращений управляемых параметров определяется по формуле:
,
где Dk – матрица размера m x n, строками которой являются градиенты функции ограничений ψj (X) в точке Xk :
∂ψ1/∂x1 ∂ψ1/∂x2…∂ψ1/∂xn
D = ∂ψ2/∂x1 ∂ψ2/∂x2…∂ψ2∂xn
..……………………..
∂ψm∂x1 ∂ψ1/∂x2…∂ψm/∂xn
ψ(Xk )- вектор- функция ограничений в точке Xk.
После попадания в малую окрестность гиперповерхности ограничений выполняется второй шаг, имеющий целью продвижение в сторону уменьшения целевой функции без нарушения ограничений, поэтому перемещение происходит в гиперплоскости, касательной гиперповерхности ограничений. Направление шага противоположно направлению проекции вектор-градиента F(X) на эту поверхность. Проекция задается с помощью проецирующей матрицы:
,
где I – единичная матрица порядка «n».
Шаг заключается в изменении управляемых параметров по формуле:
Xk - hkHkgrad F(Xk).
Этот шаг приводит к нарушению ограничений, поэтому следующий шаг будет шагом спуска на гиперповерхность ограничений и т.д.
Метод проекции вектор-градиента применим и к решению задач с ограничениями типа неравенств.
Пример.
Можно использовать для нахождения условного экстремума метод, похожий на метод градиентного поиска. В этом методе в области XP осуществляется градиентный поиск, а вне области XP движение происходит в направлении суммы градиентов нарушенных ограничений. Траектория поиска имеет зигзагообразный характер: движение к экстремуму замедленное.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 75;