Структуры данных . Графы

Раздел дискретной математики, занимающийся изучением графов, называется теорией графов. В теории графов подробно рассматриваются известные понятия, свойства, способы представления и области применения этих математических объектов. Нас же интересует, лишь те ее аспекты, которые важны в программировании.

Граф – совокупность точек, соединенных линиями. Точки называются вершинами (узлами), а линии – ребрами (дугами).

Как показано на рисунке различают два основных вида графов: ориентированные и неориентированные. В первых ребра являются направленными, т. е. существует только одно доступное направление между двумя связными вершинами, например из вершины 1 можно пройти в вершину 2, но не наоборот. В неориентированном связном графе из каждой вершины можно пройти в каждую и обратно. Частный случай двух этих видов – смешанный граф. Он характерен наличием как ориентированных, так и неориентированных ребер.

Степень входа вершины – количество входящих в нее ребер, степень выхода – количество исходящих ребер.

Ребра графа необязательно должны быть прямыми, а вершины обозначаться именно цифрами, так как показано на рисунке. К тому же встречаются такие графы, ребрам которых поставлено в соответствие конкретное значение, они именуются взвешенными графами, а это значение – весом ребра. Когда у ребра оба конца совпадают, т. е. ребро выходит из вершины F и входит в нее, то такое ребро называется петлей.

Графы широко используются в структурах, созданных человеком, например в компьютерных и транспортных сетях, web-технологиях. Специальные способы представления позволяют использовать граф в информатике (в вычислительных машинах). Самые известные из них: «Матрица смежности», «Матрица инцидентности», «Список смежности», «Список рёбер». Два первых, как понятно из названия, для репрезентации графа используют матрицу, а два последних – список.

Деревья

Неупорядоченное дерево

Дерево как математический объект это абстракция из соименных единиц, встречающихся в природе. Схожесть структуры естественных деревьев с графами определенного вида говорит о допущении установления аналогии между ними. А именно со связанными и вместе с этим ациклическими (не имеющими циклов) графами. Последние по своему строению действительно напоминают деревья, но в чем то и имеются различия, например, принято изображать математические деревья с корнем расположенным вверху, т. е. все ветви «растут» сверху вниз. Известно же, что в природе это совсем не так.

Поскольку дерево это по своей сути граф, у него с последним многие определения совпадают, либо интуитивно схожи. Так корневой узел (вершина 6) в структуре дерева – это единственная вершина (узел), характерная отсутствием предков, т. е. такая, что на нее не ссылается ни какая другая вершина, а из самого корневого узла можно дойти до любой из имеющихся вершин дерева, что следует из свойства связности данной структуры. Узлы, не ссылающиеся ни на какие другие узлы, иначе говоря, ни имеющие потомков называются листьями (2, 3, 9), либо терминальными узлами. Элементы, расположенные между корневым узлом и листьями – промежуточные узлы (1, 1, 7, 8). Каждый узел дерева имеет только одного предка, или если он корневой, то не имеет ни одного.

Поддерево – часть дерева, включающая некоторый корневой узел и все его узлы-потомки. Так, например, на рисунке одно из поддеревьев включает корень 8 и элементы 2, 1, 9.

С деревом можно выполнять многие операции, например, находить элементы, удалять элементы и поддеревья, вставлять поддеревья, находить корневые узлы для некоторых вершин и др. Одной из важнейших операций является обход дерева. Выделяются несколько методов обхода. Наиболее популярные из них: симметричный, прямой и обратный обход. При прямом обходе узлы-предки посещаются прежде своих потомков, а в обратном обходе, соответственно, обратная ситуация. В симметричном обходе поочередно просматриваются поддеревья главного дерева.

Представление данных в рассмотренной структуре выгодно в случае наличия у информации явной иерархии. Например, работа с данными о биологических родах и видах, служебных должностях, географических объектах и т. п. требует иерархически выраженной структуры, такой как математические деревья.

Куча

Имеется список целых чисел 5, 1, 7, 3, 9, 2, 8. Построим два дерева, в которых каждому узлу соответствует одно из значений этого списка, причем первое дерево будет организованно нисходящей иерархией, а второе – восходящей.

Два получившихся дерева полностью удовлетворяют свойству кучи: если Nявляется узлом-предком относительно M, а M соответственно узлом-потомком узла N, то для max-кучи всегда выполняется неравенство N≥M, а для min-кучиN≤M.

Когда корневой элемент кучи имеет наибольшее из возможных значений, то ее называют max-кучей, а когда наименьшее – min-кучей.

Данные, представленные такой структурой, удобны в обработке; некоторые операции с ними весьма не ресурсоемки, например, удаление минимального (для min-кучи) или максимального (для max-кучи) элемента, добавление нового элемента и др.

Чтобы лучше понять принципы функционирования такой структуры данных как куча, рассмотрим программу, в которой определяются ее максимальный и минимальный элементы. В качестве примера будем использовать две кучи, изображенные на рисунке выше, а представим их в программе при помощи простого одномерного массива.

Пусть известно, с каким из видов дерева (min- или max-кучей) имеем дело. Тогда определить максимальный элемент max-кучи, и минимальный элемент min-кучи не составит труда, поскольку в обоих случаях это элемент под одним и тем же номером, а именно первый элемент массива.

Программа на C++ для решения данной задачи.

Столкнуться со структурами данных типа кучи в программировании можно не раз. Так, например, их используют для оптимизации некоторых алгоритмов, многие популярные языки оперируют ими. Кроме того существуют различные варианты этой структуры, каждый из которых характерен своими специфическими свойствами.