Начальная остойчивость

Остойчивостью называют способность судна, выведенного из положения равновесия, возвращаться в него после прекращения действия внешних сил.

Как видно из определения, между понятиями остойчивость судна и устойчивость, а также устойчивое равновесие тела в механике просматривается аналогия. Однако имеются и отличия: в остойчивости рассматриваются не только бесконечно малые, но и конечные отклонения от положения равновесия; устойчивость — чисто качественное состояние, а остойчивость имеет меру, наконец, судно может либо обладать остойчивостью (устойчивое равновесие), либо быть неостойчивым (иметь неустой-чивое и безразличное равновесие).

Плавающее судно как твердое тело обладает шестью степенями свободы, следовательно можно говорить об отклонениях от положения равновесия по всем этим степеням. Что касается поступательных перемещений вдоль осей ох и оу, а также вращательного относительно оси oz, то им ничто не препятствует, поэтому не возникает восстанавливающих сил и момента. Таким образом, по отношению к этим отклонениям судно не об­ладает остойчивостью, а положение равновесия здесь безразличное. Это обстоятельство не грозит судну гибелью, не препят­ствует его использованию по назначению.

Отклонение вдоль вертикальной оси oz приводит к появлению (для судна, имеющего запас плавучести) восстанавливающих сил, т. е. такое судно всегда обладает вертикальной остойчивостью. Кроме того, судно должно сопротивляться, противостоять, наклонениям относительно осей ох и оу в противном случае оно опрокинется, перевернется. Устойчивое равновесие при указанных наклонениях не обеспечивается автоматически, как это было с вертикальной остойчивостью, а требует определенных конструктивных решений. В общем случае характер равновесия зависит от формы корпуса, распределения нагрузки, величины отклонения и т.д. Изучением всех этих вопросов и занимается «статическая остойчивость» (или просто «остойчивость»). В зависимости от того, в какой плоскости происходит наклонение, различают поперечную остойчивость - поворот судна относительно оси ох, сопровождаемый появлением угла крена, и продольную остойчивость вокруг оси оу с появлениемугла дифферента .

Рис.2.1 Равнообъемное наклонение

.

Кроме того, выделяют начальную остойчивость, когда углы наклонения малы, и остойчивость на больших углах крена. В первом разделе удается получить достаточно простые аналитические зависимости, определяющие остойчивость судна, второй раздел имеет более общий характер и включает в себя начальную остойчивость как частный случай.

Статическая остойчивость предполагает, что силы или моменты прилагаются к судну в течение достаточно длительного промежутка времени или что с момента их приложения прошло достаточно много времени. Если эти условия не соблюдаются и силами инерции пренебрегать нельзя, то вступают в действие законы динамической остойчивости.

В качестве примера действия статического кренящего момента приведем его возникновение при заполнении жидкостью одной из бортовых цистерн. При этом кренящий момент постепенно растет от нуля до какого-то значения и его действие можно считать статическим.

Примером динамического кренящего момента являются кренящие моменты, возникающие от удара волн о борт судна, при сильных внезапных порывах ветра, при бортовом залпе орудий главного калибра военных кораблей, при обрыве троса грузового устройства судна в процессе выполнения грузовых операций и т.д. В этих случаях кренящий момент действует практически мгновенно, динамически.

Установлено, что при динамическом действии кренящего момента угол крена значительно больше, чем при статическом действии, даже если величина кренящего момента в обоих случаях одинакова.

Таким образом в зависимости от характера действующих на судно сил и моментов рассматривают статическую или динамическую остойчивость, в зависимости от плоскости наклонения – поперечную или продольную остойчивость, в зависимости от величин углов наклонений- начальную остойчивость или остойчивость при больших углах наклонений.

Будем рассматривать равнообъемные наклонения, когда угловые перемещения происходят в условиях вертикального рав­новесия, т. е. при соблюдении закона Архимеда. Такое возможно, если к судну приложен чистый момент, например, когда груз перемещен с одного борта на другой. Любой более сложный вариант, вызывающий наклонение судна, может рассматриваться как сумма простых, включающих в том числе и чистый момент.

Проанализируем равнообъемное наклонение судна в поперечной плоскости на бесконечно малый угол (Рис.2.1). Поскольку нас интересует положение корпуса судна относительно поверхности воды, можно его поворот вокруг оси OX заменить эквивалентным поворотом действующей ватерлинии, как это сделано на рис.2.1. Этот же прием будем использовать и в дальнейшем при изучении поперечной остойчивости.

Поскольку наклонение равнообъемное, то объемы вошедшего в воду и вышедшего из нее клиньев одинаковы:

= (2.1)

В соответствии с рис 2.1 можно записать:

= = = ; ( )

= = ,

где

= ( )

- объем элементарной призмы с основанием и высотой ; - угол наклонения;

и - элементарная площадка и ее отстояние от оси наклонения соответственно.

Сопоставляя (2.1) и (2.2), находим

= (2.4 )

Интегралы в (2.4) - статические моменты площадей и относительно оси поворота, т.е.

= (2.5 )

откуда следует, что эта ось центральная, т.е. проходит через центр тяжести площади ватерлинии.

Этот вывод можно сформулировать несколько иначе: две равнообъемные ватерлинии пересекаются по линии, проходящей через их общий центр тяжести. Это доказанное для равнообъемных наклонений положение называется теоремой Эйлера и является справедливым для малых наклонений относительно любой оси, т.е. и для дифферента судна тоже.

Другая формулировка теоремы Эйлера гласит: ось бесконечно малого равнообъемного наклонения плавающего тела лежит в плоскости ватерлинии и проходит через центр тяжести ее площади.

В практических расчетах теорему Эйлера считают справедливой не только при бесконечно малых, но и при конечных, но малых наклонениях. Если судно прямобортное, то в пределах его прямобортности теорема Эйлера справедлива для любого угла наклонения.

Метацентр, метацентрический радиус, метацентрическая высота.

Рассмотрим механизм возникновения восстанавливающего момента. При наклонении корпуса судна изменяется форма его погруженного (подводного) объема. Соответственно изменяется и положение его центра тяжести – центра величины, который перемещается в сторону наклонения. Это перемещение при малых углах крена (начальная остойчивость) происходит по некой пространственной кривой, которая носит название траектории центра величины. Проекцию траектории центра величины на соответствующую ей плоскость наклонения называют кривой центра величины. При бесконечно малом наклонении из равновесного прямого положения на угол в теории начальной остойчивости принимается допущение, что траектория центра величины совпадает с кривой, которую в пределах участка (рис.2.2) можно считать дугой окружности с центром в точке m. Радиус этой окружности r называют начальным метацентрическим радиусом плавающего тела для данной плоскости наклонения, а его центр – начальным метацентром.

Рис.2.2

Из рис 2.2 следует, что начальный метацентр может быть определен как мгновенный центр кривизны кривой центра величины или, как это следует из рис.2.2, как точка пересечения линий действия силы плавучести до и после бесконечно малого равнообъемного наклонения плавающего тела из прямого равновесного положения в заданной плоскости, а начальный метацентрический радиус – как возвышение начального метацентра над центром величины. Каждой ватерлинии отсекающей заданный объем V отвечает бесчисленное множество метацентров, расположенных на перпендикуляре, опущенном на ватерлинию из центра величины.

Рис.2.3

Статический момент подводного объема V накрененного судна относительно ДП можно записать как (рис.2.3)

(2.6)

либо в виде суммы статических моментов элементарных объемов (2.3)

= , (2.7)

где - момент инерции площади ВЛ относительно оси наклонения – оси

Приравнивая (2.6) и (2.7), находим выражения для определения метацентрического радиуса

(2.8)

Аналогичным образом можно получить и формулу для продольного (большого) метацентрического радиуса

, (2.9)

где - момент инерции площади ВЛ относительно поперечной оси, проходящей через ее центр тяжести.

Длина судна всегда значительно больше его ширины. Соответственно значительно различаются и моменты инерции и и метацентрические радиусы. Поэтому один из них, поперечный, именуют малым, а второй продольный – большим. Соотношение этих радиусов имеет порядок ( , что в точности справедливо для прямоугольного в плане понтона.

Для того, чтобы судно обладало остойчивостью, его наклонение должно сопровождаться появлением восстанавливающего момента. В качестве сил, создающих этот момент, выступают равные по величине силы тяжести и плавучести судна. При фиксированном водоизмещении апликата центра величины определяется только формой погруженного объема. Возвышение центра тяжести судна за счет расположения грузов может , вообще говоря, меняться в широких пределах.

Рассмотрим четыре в принципе возможных варианта взаимного расположения ЦТ и ЦВ.

Рис.2.4

В первом (рис.2.3а) центр тяжести лежит ниже центра величины. Момент, возникающий из-за несовпадения линий действия сил тяжести и плавучести, стремится вернуть судно в положение равновесия ( = 0), т. е. является восстанавливающим.

Аналогичная картина имеет место и когда ЦТ лежит выше ЦВ, но ниже метацентра (рис.2.4.б) В том случае, если центр тяжести и метацентр совпадут (рис.2.4.в) восстанавливающий момент обращается в ноль, а при дальнейшем повышении ЦТ (рис.2.4.г) момент из восстанавливающего становится опрокидывающим – он стремится увеличить отклонение судна от положения равновесия.

В первых двух случаях судно имеет положительную начальную остойчивость, в третьем - нейтральную, а в четвертом – отрицательную. В двух последних вариантах судно не обладает остойчивостью (см. определение остойчивости).

Для надводных транспортных судов и кораблей типичным является второй вариант взаимного расположения ЦТ и ЦВ (рис. 2.4,б). Исключение составляют только подводные лодки в погруженном положении и некоторые спортивные парусные суда.

Теперь можно объяснить понятие метацентра — в переводе с греческого слово означает предельный центр, т. е. предельное по высоте положение центра тяжести остойчивого судна.

..Мерой остойчивости судна является метацентрическая высота — расстояние по оси OZ между метацентром и ЦТ судна. Для малой или поперечной метацентрической высоты можно записать

h= -z ; (2.10)

h = r + z_c- z ; (2.11)

h=r-a (2/12)

где z_g,z — аппликаты поперечного метацентра, ЦТ и ЦВ
соответственно; r—метацентрический радиус;

а= (2.13)

— возвышение ЦТ над ЦВ.

Очевидно, что аналогичные формулы можно получить и для большой (продольной) метацентрической высоты:

Н= -

Рис.2.5

Метацентрические формулы остойчиво­сти.

Составляющие восстанавливающего момента. Для определения восстанавли­вающего момента рассмотрим накрененное на малый угол судно (рис. 2.5). Плечо этого момента — расстояние между ли­ниями действия сил тяжести и сил поддер­жания

L=KN= h Sin (2.15)

а сам восстанавливающий момент при наклонениях в попереч­ной плоскости

M = Ph Sin (2.16)

где P — сила тяжести судна; h — малая (поперечная) метацентрическая высота.

С учетом того, что углы наклонения, рассматриваемые в на­чальной остойчивости, малы, запишем метацентрическую фор­мулу остойчивости в таком виде:

M = Ph , (2.17)

Где - угол крена в [рад].

Предельные значения углов крена, до которых еще справед­лива метацентрическая формула (2.17), зависят от формы суд­на. Практика показывает, что для судов традиционной формы зависимостью (2.17) можно пользоваться вплоть до = (10-12)°.

Аналогичным путем получаем выражение для восстанавли­вающего момента в продольной плоскости:

M = PH (2.18)

Метацентрическая формула продольной остойчивости (2.18) применима для всех возможных в эксплуатации углов диффе­рента, поскольку последние обычно не превышают 3—4°. Структура метацентрических формул остойчивости (2.17) и (2.18) показывает, что чем больше метацентрические высоты h и H , тем больше восстанавливающие моменты, т.е тем сильнее судно сопротивляется наклонению.

Другими словами, метацентрические высоты есть меры начальной поперечной и продольной остойчивости. В качестве таковых еще используют произведения PhиPH, называя их соответствующими коэффициентами остойчивости.

Записав выражение для метацентрической высоты в форме (2.12), получим для восстанавливающего момента следующее выражение

(2.19)

Величина метацентрического радиуса зависит только от формы судна [см. (2.8)], в связи с чем первая составляющая в (2.19) называется моментом остойчивости формы, вторая носит название момента остойчивости веса, поскольку она в значительной мере определяется положением ЦТ по высоте [см. (2.13)]. Соответствующие названия даны и составляющим плеча статической остойчивости

= =lф + lg (2.20)

При обычном для водоизмещающих судов взаимном распо­ложении ЦТ и ЦВ z_g > z_c — момент остойчивости веса, а также соответствующее плечо отрицательны.

Для подводной лодки в погруженном состоянии действующая ватерлиния отсутствует S = О, I_X = I_F = 0, равны нулю и метацентрические радиусы [см. (2.8) и (2.9)]. Единственная возможность создать положительную остойчивость в этом случае —понизить ЦТ настолько, чтобы обеспечить z_g < z_Ct, a следовательно и положительную величину момента остойчивости веса.

Этим же обстоятельством объясняется и одинаковая про-
дольная и поперечная остойчивость подводной лодки: восста­-
навливающими являются только моменты веса, которые одина­-
ковы при наклонениях в обеих плоскостях.
Метацентрические формулы остойчивости (2.17) и (2.18) находят широкое применение для определения соответствующих
углов наклонения судна под действием заданного (известного) кренящего M или дифферентующего Mд моментов.

Действительно, статическое равновесие судна наступает при условии равенства нулю всех приложенных к нему моментов

Mкр=Mв; Mд=Mв, (2.21)