Определение типа особой точки динамической системы

При анализе качества динамических систем большое внимание уделяется вопросам устойчивости. Для этого часто применяют метод фазовой плоскости, позволяющий исследовать поведение системы вблизи особой точки (состояния равновесия). Эта задача хорошо исследована для систем второго порядка в случае, когда известна математическая модель. Обычно определяются корни характеристического уравнения, по которым делается заключение о типе особой точки. Вопрос существенно усложняется при учете нелинейных членов. Для принятия решения в этом случае применяют различные косвенные методы, основанные на оценке индекса особой точки, теореме Пуанкаре-Бендиксона и другие. В условиях неопределенности, когда отсутствует математическое описание, применение указанных методов требует проведения предварительной идентификации системы. Такой подход связан с решением ряда проблем.

Ниже предлагается приближенный метод оценки типа состояния равновесия динамической системы на основе анализа информационного множества , который сводится к идентификации частного решения системы с целью выделения общего решения при некотором начальном состоянии. При этом собственные числа динамической системы не оцениваются. Задача решается на классе статических моделей.

Постановка задачи

Рассматривается линейная динамическая система

(15)

где — вектор состояния, , — вход и выход системы, , , , .

Для (15) имеется экспериментальная информация

. (16)

Решение системы (15) имеет вид

(17)

где — оператор, однозначно определяемый матрицами .

Учитывая (16), из (17) получаем решение системы (15) при

, (18)

где — частное решение с , — общее решение с при неизвестном . Обозначим через общее решение (13) с .

Задача состоит в нахождении оценки общего решения на множестве и принятии решения о состоянии равновесия.