Основные свойства ортогонального проецирования

Начертательная геометрия

Раздел 1. Основные понятия

Определения

В начертательной геометрии изучаются геометрические основы построения изображений на плоскости (листе бумаги) предметов, имею­щих три измерения, а также способы решения задач из различных обла­стей техники с помощью геометрических построений.

К основным формообразующим элементам пространства относятся точка, прямая и плоскость. Ими определяются простые трехмерные фигуры, из которых создаются сложные объекты пространства. Точки обозначают прописными буквами: A, B, C… или арабскими цифрами: 1, 2, 3…, прямые – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c…, плоскости – прописными буквами греческого алфавита: G, L, P, S, F, Y, W.

Между элементами пространства существуют следующие отношения:

- тождественность (совпадение) - º [АºВ];

- инцидентность (принадлежность) - Î[AÎa];

- параллельность - ½½[a½½b];

- перпендикулярность - ^ [a^S].

Над элементами пространства можно выполнять следующие операции:

- соединение - È [AÈB=a];

- пересечение - Ç [mÇn=k].

Начертательная геометрия базируется на методах проекций.

Метод проекций

Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецируемый объект и плоскость, на которой получается изображение объекта.

Различают следующие виды проецирования:

- центральное,

- параллельное

- ортогональное (частный случай параллельного проецирования).

При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проецирования.

Рис. 1. Пример центрального проецирования

П₁ – плоскость проекций;

S – центр проецирования;

А, В, С – точки пространства;

А₁, В₁, С₁ - центральные проекции на плоскости П₁;

SАА₁, SВВ₁, SCC₁ – проецирующие лучи.

Параллельным проецированием называется такое проецирование, при котором центр проекций S удален в бесконечность, а все лучи становятся параллельными.

Рис. 2. Пример параллельного проецирования

Частный случай параллельного проецирования – ортогональное проецирование. Проецируемые лучи перпендикулярны плоскости проекций (l ^ П₁).

Рис. 3. Пример ортогонального проецирования

П₁ – плоскость проекций;

А, В, С – точки пространства;

А₁, В₁, С₁ - ортогональные проекции на плоскости П₁;

АА₁, ВВ₁, СС₁ (l)– проецирующие лучи.

Основные свойства ортогонального проецирования

1) Проекция точки есть точка (А→А₁).

Рис. 4. Точки и их проекции

2) Проекция прямой есть прямая (а→а₁).

½АВ½→½А₁В₁½

Рис. 5. Прямая и ее проекция

На рис. 6 представлен частный случай: проекцией проецирующей прямой является точка.

½АВ½→½А₁= В₁½

Рис. 6. Проецирование прямой, перпендикулярной плоскости проекций

Проекция прямой определена, если известны хотя бы две ее точки.

3) Проекцией плоскости является плоскость. Плоскость состоит из бесконечного множества точек.

4) Проекции параллельных прямых есть параллельные прямые.

5) Если точка в пространстве принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой.

Рис. 7. Принадлежность точек прямой

6) Проекция отрезка всегда меньше самого отрезка, т. к. отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция катетом.

Рис. 8. Отрезок и его проекция

АВ – отрезок прямой в пространстве;

α - угол наклона к плоскости проекций

7) Прямой угол проецируется в прямой, если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

Рис. 9. Проецирование прямого угла