Статистика электронов и дырок в полупроводниках

Равновесные процессы – процессы, происходящие в телах, которые не подвергаются внешним воздействиям. В состоянии термодинамического равновесия для данного образца кристалла при заданной температуре существует определенное распределение электронов и дырок по энергиям, а также значения их концентраций. Вычисление концентраций основных и неосновных носителей заряда составляет главную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.

Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто квантово-механическую – нахождение числа возможных квантовых состояний электронов и статистическую – определение фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям при термодинамическом равновесии.

Исходя из принципа неопределенности Гейзенберга для квазиимпульсов dp_x, dp_y и dp_z:

,

, (3.8)

.

Внутри объема dp = h³ в зоне Бриллюэна может иметь место только одно квантовое состояние, которое как бы размыто по всему этому объему. Итак, h³ – это объем одной “квартирки” в зоне Бриллюэна, в которую можно поместить только два электрона с разными спинами, и не более.

Поэтому число квантовых состояний на единицу объема кристалла, равно – в объеме dp.

При заполнении зоны проводимости электронами заполняются

вначале самые нижние уровни. Зона проводимости – одномерная относительно энергии (рис. 1.3а). Зона Бриллюэна – трехмерная (p_x, p_y, p_z) (рис. 1.3б). Заполнение зоны Бриллюэна начинается с самых малых значений квазиимпульса p. Поэтому в качестве dp надо выбрать элемент объема, заключенный между двумя очень близкими изоэнергетическими поверхностями(см. рис. 1.3б). Внутри этого тонкого шарового слоя радиусом p и толщиной dp число квантовых состояний будет равно:

. (3.9)

Рис. 3.10. Диаграмма для расчета плотности квантовых состояний:

а) распределение электронов по энергии в зоне проводимости; б) зона Бриллюэна для расчета плотности состояний

Число квантовых состояний в зоне проводимости в узком интервале энергий от Е до Е + dЕ, рассчитанное на единицу объема кристалла, можно представить в виде N(E)dE, где N(E) есть плотность состояний.

. (3.10)

Отсюда

. (3.11)

Аналогичная формула получается и для валентной зоны, но только вместо (Е – Е_C) напишем (Е_V – Е), а вместо m_n – эффективную массу дырки m_p.

Как видно из (1.6), плотность квантовых состояний возрастает по мере удаления от дна зоны проводимости.