Основные положения теории Буссинеска.

1. Если к упругому полупространству в точке О приложить сосредоточенную силу Р перпендикулярно поверхности, то в твердом теле возникает напряженное состояние в объеме сферы (рис. 2.2).

2. В любой точке сферы (А, М, N) напряженное состояние тела характеризуется вектором σ, направленным к месту приложения сосредоточенной силы Р в точке О. Возникающее напряжение в виде суммы векторов σ, может быть представлено в виде нормального σ_z и касательного τ_zx.

3. В любой точке этой сферы (А, М, N) нормальное напряжение σ_z, параллельное оси OZ, будет иметь значение

(2.2.1)

где x, z - координаты точки, лежащей на окружности.

Касательное напряжение в этой точке соответственно определяется выражением

. (2.2.2)

Полное напряжение σ, направленное из точки к месту приложения силы Р, будет иметь значение

(2.2.3)

Рисунок 2.3- Сферы равных напряжений привнедрении резца в твердоетело

P

где φ_с – угол между направлением действия силы Р и вектором полного напряжения;

l = ОА – расстояние от точки А до точки приложения силы Р.

Из треугольника ОАВ, вписанного в окружность, определим:

. (2.2.4)

После этого получим выражение для расчета полного напряжения:

. (2.2.5)

Выводы:

1. Из выражения (2.2.3) следует, что полное напряжение в любой точке сферы σ прямо пропорционально силе Р и обратно пропорционально расстоянию l и зависит от угла φ_с.

2.

Рисунок 2.4- Линии деформации и напряжений в породе под торцом коронок (а,б) и долота (в)

аб

в

На любой горизонтальной площадке, расположенной в пределах поверхности сферы, имеющей диаметр d, полные напряжения σ одинаковы и имеют значения, вычисляемые по формуле (2.2.5).

Из формулы (2.2.5) также следует, что чем меньше диаметр сферы d, тем больше полное напряжение на ее поверхности. При бесконечно малом диаметре полное напряжение становится максимальным. Такие сферические напряжения называются сферами равных напряжений.

3. Максимальным будет напряжение непосредственно в точке приложения вектора усилия Р.

4. Анализ полученных зависимостей показывает, что по оси симметрии Z действуют сжимающие напряжения, а на поверхности полупространства имеет место чистый сдвиг.

При d →0 напряжение σ_z→∞. Следовательно, сжимающие напряжения на поверхности из вышеприведенных формул определить нельзя.

Согласно принципу Б. Сен-Венана, сосредоточенную силу Р можно заменить эквивалентной ей распределенной нагрузкой Р_р по кругу радиуса а. В этом случае нормальные напряжения определяются на любом расстоянии от поверхности следующей формулой:

(2.2.6)

Действительно, при z=0σ_z=P_p; при z→∞ σ_z→0.

Р

Рисунок 2.5- Схема линий напряжений в породе при наклонном приложении усилияР

Рг

Рв

Иллюстрацией линий равных напряжений могут служить круги на воде, расходящиеся от брошенного в воду камня, сферы равных напряжений, зафиксированные при внедрении резца в твердое тело (рис. 2.3) или линии деформации в породе, полученные Е.И. Быченковым (рис. 2.4). При этом отмечено, что площадь деформированной зоны возрастает при повышении осевого усилия и снижается при повышении частоты вращения бурового инструмента.

В том случае, если сила Р будет приложена к поверхности породы под углом, напряжения в массиве будут распространяться в виде деформированных сфер, форма которых близка к овалу или эллипсу. Разрушение же породы (выкалывание лунки) произойдет в направлении ближайшей свободной поверхности (по направлению действующей силы), что приведет к формированию асимметричной лунки разрушения (рис. 2.5).