Производные потенциала силы тяжести

В практике геологической интерпретации гравиметрических данных кроме силы тяжести используются первые и вторые производные потенциала (реже третьи производные) по трем координатным осям:

; ;

Если ось направить к центру Земли, то

, .

Из шести вторых производных гравитационного потенциала по координатам - это

; ; ; ; .

обозначаемыx соответственно .

Одни из всех перечисленных величин измеряются, другие - вычисляются. На­п­ример, значение потенциала может быть найдено только вычислительным путем, прибора для инструментального определения не существует. Из первых производных наиболее просто измеряется - вертикальная составляющая. Из вторых производных - гравитационным вариометром определяются все указанные шесть производных, градиентометром - лишь и - горизонтальные составляющие градиента силы тяжести.

Единицей измерения будет отношение - первой производной и – второй производной или этвеш, равный: 1Е=1 × 10^-9 с^-2 - он соответствует изменению силы тяжести в 0,1 на 1 км, названный в честь изобретателя вариометрического метода венгерского геофизика Р.Этвеша (1849-1919).

Возвращаясь к производным. Измеренные значения вторых производных являются их абсолютными значениями в точке наблюдений, принимаемой за начало прямоугольной системы координат. При этом координатные оси размещаются следующим образом. Ось направлена по отвесу, т.е. совпадает с внутренней нормалью к уровенной поверхности, проходящей через точку наблюдения, оси и располагаются в плоскости, касательной к уровенной поверхности. Ось направлена на истинный юг.

При таком расположении осей, имея в виду, что

.

Таким образом, вторые производные являются градиентами силы тяжести по соответствующим осям. Кроме того, производные называются горизонтальными градиентами силы тяжести, а - вертикальным градиентом.

Каков физический смысл вторых производных? Все они указывают на скорость изменения силы тяжести по осям .

Остальные три вторых производных - они характеризуют кривизну уровенной поверхности геоида, которую изучают в геодезической гравиметрии. Горизонтальные производные и обычно представляют в виде векторов направленных по координатным осям (см. рис). Геометрическую сумму этих векторов определяет , называемый полным горизонтальным градиентом силы тяжести. Направление и величина вектора определяется равенством:

;

.