Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах , i = 0, 1, 2, …, n,с шагомh. Требуется найти интерполяционный многочлен Pn(x)степени не выше n, удовлетворяющий условию:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …, n . (1.3.3-2)
Будем искать интерполяционный многочлен вида:
Pn(x) =a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+ …+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),(1.3.3-3)
где аi, i =0,1,2,…,n–неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.
Для нахождения коэффициентов формулы Ньютона аiбудем подставлять в (1.3.3-3) значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (1.3.3-2).
Пусть х = x0, тогда, согласно (1.3.3-2), Pn(x0) =y0 = a0. Следовательно, a0=y0.
Пустьх = x1, тогда
Pn(x1) = y1 = a0+a1(x1-x0) = y0 +a1(x1-x0). (1.3.3-4)
Из равенства (1.3.3-4) следует, что
Теперь пусть х = х2 , тогда:
Выражая неизвестный коэффициент, получим:
Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с номером i:
Подставив найденные значения коэффициентов в (1.3.3-4), получим первую интерполяционную формулу Ньютона:
(1.3.3-5)
Воспользуемся этой формулой, как одной из возможных форм записи интерполяционного многочлена второй степени.
(1.3.3-6)
Тогда для вычисления значения функции, заданной табл. 1.3.3-1, при х = 1.45:
Отметим, что при использовании первой интерполяционной формулы Ньютона целесообразно выбирать х0близко к точке интерполяции (интерполяция вперед). Это обеспечивает более высокую точность при фиксированном числе узлов. Запись интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона позволяет учитывать дополнительные узлы в правой части таблицы, уточняя ранее полученный результат, без пересчета остальных слагаемых.
Введя обозначение: и проведя несложные преобразования вида: приведем (1.3.3-5) к виду:
(1.3. 3-7)
Это второй вид записи формулы Ньютона для интерполирования вперед. Она применяется для интерполяции f(x) в окрестностях начального значения х0, где q – достаточно мало по абсолютной величине.
Если n=1, то из (1.3.3-6) получаем формулу линейной интерполяции
Если n=2, то получаем формулу квадратичной (или параболической) интерполяции
Схема алгоритма интерполяции по первой формуле Ньютона приведена на
рис. 1.3.3-1.
Рис. 1.3.3-1. Схема алгоритма интерполяции по первой формуле Ньютона
Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 1668;