Определение положения главных осей тензора напряжений

Положение главных осей тензора напряжений определяется матрицей направляющих косинусов:

(2.13)

Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; вторая строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; третья строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение . Все направляющие косинусы задаются в исходной (старой) системе координат, показанной на рис. 1.1.

Направляющие косинусы главных осей тензора находятся из системы уравнений:

(2.14)

при условии

(2.15)

Здесь - направляющие косинусы главной оси тензора напряжений, вдоль которой действует напряжение .

Уравнения (2.14) представляют линейную однородную систему с неизвестными , которые, как следует из уравнения (2.15), одновременно нулю равняться не могут. В линейной алгебре [4] доказывается, что решение линейной однородной системы уравнений отлично от нуля только в том случае, если ее определитель равен нулю:

Следовательно, три уравнения (2.14) являются линейно зависимые: одно уравнение (любое) является следствием двух других. Поэтому для определения направляющих косинусов любой главной оси нужно одно из уравнений удалить (любое) и к двум оставшимся добавить уравнение (2.15). Решив полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем направляющие косинусы , соответствующие главному напряжению . Положение оставшихся двух осей находят аналогично.

Нужно иметь в виду, что каждый из направляющих косинусов получается с двумя знаками. Знаки соответствуют повороту осей по часовой стрелке или против часовой стрелки. При этом главные оси занимают одно и то же положение, но направлены в противоположные стороны.

При определении положения главных осей нужно оставить одну систему знаков, конкретизировав при этом направления осей.

2.3.1. Вычисление направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов , соответствующих оси, вдоль которой действует напряжение , подставим в (2.14) и (2.15) ; при этом из (2.14) возьмем первые два уравнения (можно взять любые два):

(2.16)

Сначала найдем отношения между направляющими косинусами; для этого систему уравнений приведем к виду:

(2.17)

Решая подсистему, состоящую из первых двух уравнений, получим:

. (2.18)

Подставляя эти выражения в третье уравнение (2.17), найдем:

, (2.19)

откуда

На этом этапе решения задачи можно у выбрать любой знак. Примем . Подставляя это значение в (2.18), получим:

. (2.20)

Углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции от :

2.3.2. Вычисление

Подставляя в (2.14) и (2.15) и используя те же два уравнения из (2.14) (можно и другие), получим:

(2.21)

Решая эту систему уравнений в той же последовательности, как и в п. 3.2.1, получим:

Здесь по-прежнему знак у принят положительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемы из первых двух уравнений (2.21).

Углы, которые составляет вторая главная ось с исходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, что определитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, что соответствует левой системе координат. Для тог, чтобы получить правую систему координат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.

2.3.3. Вычисление