Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Содержание:

В математике известны многие виды уравнений. Например:

Пример 1:

- алгебраические ;

- тригонометрические ;

- показательные ;

- логарифмические ;

- и др.

Во всех этих типах уравнений решениями являются числа, при подстановке которых вместо х, получаются верные числовые равенства.

Есть такие виды уравнений, в которых решениями являются не конкретные числа, а целые функции. Такие уравнения называются функциональными. Примером функциональных уравнений являются дифференциальные уравнения.

Определение 1. Уравнение называется дифференциальным, если оно содержит производные искомой функции или её дифференциалы.

Решением дифференциального уравнения является функция.

Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию при подстановке которой в уравнение получается верное равенство.

Определение 2. Порядок дифференциального уравнения зависит от порядка входящих в него переменных.

- дифференциальное уравнение первого порядка

- дифференциальное уравнение второго порядка

- дифференциальное уравнение третьего порядка

Пример 2. Из предложенного списка выберите дифференциальные уравнения:

Решение:

К дифференциальным уравнениям относятся уравнения под номерами 1), 4) и 7), содержащие производные, а также уравнения под номерами 6) и 8), содержащие дифференциалы.

Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения является множество решений, содержащих переменную С.

Определение 4. Частное решение получается из общего путём подстановки вместо С конкретного числа.

Пример 3. Вычислите интеграл: и решите дифференциальное уравнение

Решение:

Общее решение

Частные решения
Пример 4. Дано дифференциальное уравнение Какие из функций являются решениями этого дифференциального уравнения?

Решение:

1. Проверим функцию Её производная подставим значения и в уравнение: , т. е. . Т. к. это равенство неверно, то функция не является решением уравнения

2. Проверим функцию Её производная подставим значения и в уравнение: . Т. к. это равенство верно, то функция является решением уравнения

3. Проверим функцию Её производная подставим значения и в уравнение: . Т. к. это равенство неверно, то функция не является решением уравнения

Порядок дифференциального уравнения зависит от порядка входящих в него производных.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка:

Дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Дифференциальное уравнение 3-го порядка:

и т. д.